(2010•武漢模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,E為CD上一點,且AE=AB,M為AE的中點.下列結(jié)論:
①DM=DA;②EB平分∠AEC;③S△ABE=S△ADE;④BE2=2AE•EC.其中結(jié)論正確的個數(shù)是( )

A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】分析:①由于DM是直角△ADE斜邊AE上的中線,欲證DM=DA,只需證明AD=AE即可;②在直角△ADE中,由于∠ADE=90°,AD=AE,得出∠DEA=30°,然后分別算出∠AEB與∠CEB的度數(shù)即可;③由于S△ABE=S矩形ABCD,S△ADES矩形ABCD,從而進行判斷;④如果設(shè)BC=DA=a,則可用含a的代數(shù)式表示BC、AE、EC的長度,然后在直角△BCE中運用勾股定理算出BE2的值,再算出2AE•EC的值,比較即可.
解答:解:①∵在直角△ADE中,∠ADE=90°,M為AE的中點,∴DM=AE,∵AE=AB,AB=2BC=2DA,∴DM=DA,正確;
②在直角△ADE中,∠ADE=90°,AD=AE,∴∠DEA=30°.∵CD∥AB,∴∠EAB=∠DEA=30°,∠CEB=∠ABE.在△EAB中,∠EAB=30°,AE=AB,∴∠AEB=∠ABE=75°,∴∠CEB=75°,∴EB平分∠AEC,正確;
③∵S△ABE=S矩形ABCD,S△ADE<S△ADC=S矩形ABCD,∴S△ABE>S△ADE,錯誤;
④在矩形ABCD中,設(shè)BC=DA=a,則AE=AB=DC=2BC=2a,DE=AD=a,∴EC=(2-)a.在直角△BCE中,BE2=BC2+CE2=a2+[(2-)a]2=(8-4)a2,2AE•EC=2×2a×(2-)a=(8-4)a2,正確.
故選C.
點評:本題主要考查了直角三角形、矩形的性質(zhì)以及多邊形的面積,勾股定理.綜合性較強,有一定難度.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求拋物線的解析式;
(2)點Q在拋物線上,且有△AQC和△BQC面積相等,求點Q的坐標(biāo);
(3)如圖2,點P為△AOC外接圓上的中點,直線PC交x軸于D,∠EDF=∠ACO.當(dāng)∠EDF繞D旋轉(zhuǎn)時,DE交AC于M,DF交y軸負(fù)半軸于N、問CN-CM的值是否發(fā)生變化?若不變,求出其值;若變化,求出變化范圍.

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