Question

如圖，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30°．

（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

（1）
（2）解析:
解：（1）法一：過O作OE⊥AB于E，則AE=AB=2．   1分
  在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．
∴OA===4． …………………………3分
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．
∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．    5分
∴S陰影==． 6分
法二：連結AD．                 1分
∵AC⊥BD，AC是直徑，
∴AC垂直平分BD．    ……………………2分

∴AB=AD，BF=FD，．
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120°．       ……………………3分
∵BF=AB=2，sin60°=，
AF=AB·sin60°=4×=6．
∴OB2=BF2+OF2．即．
∴OB=4．               5分
∴S陰影=S圓=．      6分
法三：連結BC．………………………………………………………………………………1分
∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ABC=90°．
∵AB=4，
∴．       ……………………3分
∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°，
∴∠BOD=120°．
∴S陰影=π·OA2=×42·π=．……………………6分
以下同法一．
（2）設圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，
∴．  
∴．         10分