Question

【題目】如圖，△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點F在CA的延長線上，FH⊥BE，交BD于點G，交BC于點H；下列結論：
①∠DBE=∠F；
②2∠BEF=∠BAF+∠C；
③∠F=∠BAC﹣∠C；
④∠BGH=∠ABE+∠C，
其中正確的結論有

Answer 1

【答案】①②④
【解析】
解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，
①正確；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，
②正確；
③∠ABD=90°﹣∠BAC，
∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°﹣∠C，
∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
③錯誤；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，
④正確，
故答案為：①②④．
①根據BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，證明結論正確；②根據角平分線的定義和三角形外角的性質證明結論正確；③證明∠DBE=∠BAC﹣∠C，根據①的結論，證明結論正確；④根據角平分線的定義和三角形外角的性質證明結論正確．