Question

【題目】如圖，已知點B的坐標是（-2，0)，點C的坐標是（8，0)，以線段BC為直徑作⊙A，交y軸的正半軸于點D，過B、C、D三點作拋物線.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連結BD，CD，點E是BD延長線上一點，∠CDE的角平分線DF交⊙A于點F，連結CF，在直線BE上找一點P，使得△PFC的周長最小，并求出此時點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點G，使得∠GFC=∠DCF，若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由BC是直徑證得∠OCD=∠BDO,從而得到△BOD∽△DOC,根據(jù)線段成比例求出OD的長，

設拋物線解析式為y=a(x+2)(x-8),將點D坐標代入即可得到解析式；

（2）利用角平分線求出，得到，從而得出點F的坐標（3,5），再延長延長CD至點，可使,得到(-8，8)，求出F的解析式，與直線BD的交點坐標即為點P，此時△PFC的周長最�。�

（3）先假設存在，①利用弧等圓周角相等把點D、F繞點A順時針旋轉90，使點F與點B重合，點G與點Q重合，則Q1(7，3),符合，求出直線FQ1的解析式，與拋物線的交點即為點G1，②根據(jù)對稱性得到點Q2的坐標，再求出直線FQ2的解析式，與拋物線的交點即為點G2，由此證得存在點G.

（1）∵以線段BC為直徑作⊙A,交y軸的正半軸于點D，

∴∠BDO+∠ODC=90,

∵∠OCD+∠ODC=90,

∴∠OCD=∠BDO,

∵∠DOC=∠DOB=90,

∴△BOD∽△DOC,

∴,

∵B（-2，0)，C（8，0)，

∴,

解得OD=4(負值舍去)，∴D（0,4）

設拋物線解析式為y=a(x+2)(x-8),

∴4=a(0+2)(0-8),

解得a=，

∴二次函數(shù)的解析式為y=(x+2)(x-8),即.

（2）∵BC為⊙A的直徑，且B（-2，0)，C（8，0)，

∴OA=3,A(3,0),

∴點E是BD延長線上一點，∠CDE的角平分線DF交⊙A于點F，

∴,

連接AF，則,

∵OA=3，AF=5

∴F(3，5)

∵∠CDB=90,

∴延長CD至點，可使,

∴(-8，8)，

連接F叫BE于點P，再連接PF、PC，

此時△PFC的周長最短，

解得F的解析式為，

BD的解析式為y=2x+4,

可得交點P.

（3）存在；假設存在點G，使∠GFC=∠DCF，

設射線GF交⊙A于點Q,

①∵A(3，0),F(3，5),C(8，0),D(0，4),

∴把點D、F繞點A順時針旋轉90，使點F與點B重合，點G與點Q重合，則Q1(7，3),符合，

∵F(3，5),Q1(7，3),

∴直線FQ1的解析式為，

解，得，（舍去），

∴G1；

②Q1關于x軸對稱點Q2(7，-3),符合，

∵F(3，5),Q2(7，3),

∴直線FQ2的解析式為y=-2x+11,

解，得，（舍去），

∴G2

綜上，存在點G或，使得∠GFC=∠DCF.