Question

已知，直角梯形ABCD的邊AB=a，BC=b，CD=c，腰AD是⊙O的直徑，直角腰BC交⊙O于E、F，求證：tan∠BAE和tan∠BAF是ax²-bx+c=0的兩根．

Answer 1

【答案】分析：通過(guò)作輔助線，過(guò)O作OH⊥CB于H，BA的延長(zhǎng)線與⊙O交于G，連DG，構(gòu)建矩形BCDG，可得，BE=AB，BG=CD，BE=CF，從而，利用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，可解答．
解答：證明：過(guò)O作OH⊥CB于H，BA的延長(zhǎng)線與⊙O交于G，連DG，
∵∠C=∠B=90°，∠DGA=90°，
∴四邊形BCDG是矩形，
∴CD=BG，AB=BE，
∵OF=OE，O為AD中點(diǎn)，
∴H為EF和BC的中點(diǎn)，
∴BH=CH，
∵EH=HF，
∴BE=CF，
∴tan∠BAE+tan∠BAF=+==，
tan∠BAE×tan∠BAF=×==；
∴tan∠BAE和tan∠BAF是ax²-bx+c=0的兩根；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形以及二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為矩形和直角三角形，從而由矩形和直角三角形的性質(zhì)來(lái)求解．