Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y=-

1

2

x-1與x軸交于點A，與y軸交于點B．點C為AB延長線上一點且BC=AB，拋物線y=ax²+bx-3過點A、點C．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）求拋物線的解析式及頂點坐標；
（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點M，將△ABO繞點M旋轉(zhuǎn)，使得點A的對應點落在拋物線上，試求出A的對應點的坐標；（直接寫出結(jié)果）
（4）△ABO繞平面內(nèi)的某一點旋轉(zhuǎn)180°后，是否存在A、B的對應點同時落在拋物線上？若存在，求出對應點A′、B′和旋轉(zhuǎn)中心的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式，可確定A、B的坐標，由于BC=AB，即B是AC的中點，即可求得點C的坐標．
（2）將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．
（3）若點A的對應點落在拋物線上，那么這些點到M的距離都等于MA的長，可設出點A對應點的坐標，然后根據(jù)坐標系中兩點間的距離公式列方程求解．（此方程是個高次方程，可用換元法求解）
（4）假設存在符合條件的旋轉(zhuǎn)中心，由于旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為180°，那么旋轉(zhuǎn)后A′B′∥AB，可設出旋轉(zhuǎn)中線的坐標，然后表示出A′、B′的坐標，由于A′、B′都在拋物線的圖象上，可將它們代入拋物線的解析式中，即可求得A′、B′以及旋轉(zhuǎn)中心的坐標．

解答：解：（1）∵直線AB：y=-

1

2

x-1，當x=0時，y=1；當y=0時，x=-2；
∴A（-2，0），B（0，-1），
又∵AB=BC，即B是AC的中點，
∴C（2，-2）．（3分）

（2）∵y=ax²+bx-3過A（-2，0）、C（2，-2）
∴

4a-2b-3=0 4a+2b-3=-2

（5分）
解得：a=

1

2

，b=-

1

2

．
∴y=

1

2

x²-

1

2

x-3．（7分），
頂點坐標（

1

2

，-

25

8

）


（3）由（2）知，拋物線的對稱軸為x=

1

2

，則M（

1

2

，0）；
設點A的對應點的坐標為（x，

1

2

x²-

1

2

x-3），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有
（x-

1

2

）²+（

1

2

x²-

1

2

x-3）²=（-2-

1

2

）²，
即（x-

1

2

）²+[

1

2

（x-

1

2

）²-

25

8

]²=

25

4

，
設（x-

1

2

）²=m，則有：
m+（

1

2

m-

25

8

）²=

25

4

，
解得m=

9

4

，m=

25

4

；
將m的值代入（x-

1

2

）²=m中，可求得：
A₁（-2，0）（舍去）、A₂（-1，-2）、A₃（2，-2）、A₄（3，0）．（11分）

（4）旋轉(zhuǎn)后，A′B′∥AB，
設O′（a，b），△AOB≌△A′O′B′，則A′（a+2，b），B′（a，b+1），代入
y=

1

2

x²-

1

2

x-3中，
解得：a=-1，b=-3．
則A′（1，-3），B′（-1，-2）旋轉(zhuǎn)中心（-

1

2

，-

3

2

）．（14分）

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及圖形的旋轉(zhuǎn)變化，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決此題的關鍵．