(2012•赤峰)如圖,拋物線y=x2-bx-5與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點C與點F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,直線AF交y軸于點E,|OC|:|OA|=5:1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線AF的解析式;
(3)在直線AF上是否存在點P,使△CFP是直角三角形?若存在,求出P點坐標;若不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)拋物線解析式求出OC的長度,再根據(jù)比例求出OA的長度,從而得到點A的坐標,然后把點A的坐標代入拋物線解析式計算求出b,即可得到拋物線解析式;
(2)根據(jù)點C、F關(guān)于對稱軸對稱可得點F的縱坐標與點C的縱坐標相等,設出點F的坐標為(x0,-5),代入拋物線求出點F的橫坐標,然后利用待定系數(shù)法求直線函數(shù)解析式求解即可;
(3)分①點P與點E重合時,△CFP是直角三角形,②CF是斜邊時,過C作CP⊥AF于點P,然后根據(jù)點C、E、F的坐標求出PC=PF,從而求出點P在拋物線對稱軸上,再根據(jù)拋物線的對稱軸求解即可.
解答:解:(1)∵y=x2-bx-5,
∴|OC|=5,
∵|OC|:|OA|=5:1,
∴|OA|=1,
即A(-1,0),…(2分)
把A(-1,0)代入y=x2-bx-5得
(-1)2+b-5=0,
解得b=4,
拋物線的解析式為y=x2-4x-5;…(4分)

(2)∵點C與點F關(guān)于對稱軸對稱,C(0,-5),設F(x0,-5),
∴x02-4x0-5=-5,
解得x0=0(舍去),或x0=4,
∴F(4,-5),…(6分)
∴對稱軸為x=2,
設直線AF的解析式為y=kx+b,
把F(4,-5),A(-1,0),代入y=kx+b,
4k+b=-5
-k+b=0
,
解得
k=-1
b=-1

所以,直線FA的解析式為y=-x-1;…(8分)

(3)存在.…(9分)
理由如下:①當∠FCP=90°時,點P與點E重合,
∵點E是直線y=-x-1與y軸的交點,
∴E(0,-1),
∴P(0,-1),…(10分)
②當CF是斜邊時,過點C作CP⊥AF于點P(x1,-x1-1),
∵∠ECF=90°,E(0,-1),C(0,-5),F(xiàn)(4,-5),
∴CE=CF,
∴EP=PF,
∴CP=PF,
∴點P在拋物線的對稱軸上,…(11分)
∴x1=2,
把x1=2代入y=-x-1,得
y=-3,
∴P(2,-3),
綜上所述,直線AF上存在點P(0,-1)或(2,-3)使△CFP是直角三角形.…(12分)
點評:本題是對二次函數(shù)的綜合考查,主要利用了二次函數(shù)與坐標軸的交點的求解,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)的對稱性,以及到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上的性質(zhì),(3)中要注意分CF是直角邊與斜邊兩種情況討論求解.
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