Question

（2011•沙坪壩區(qū)模擬）如圖1，在同一平面內(nèi)，Rt△ABC≌Rt△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3，AC=DF=4，AC與DF重合，△ABC始終保持不動(dòng)．
（1）將△DEF沿CB（EB）方向平移，直到點(diǎn)E與點(diǎn)B重合為止，設(shè)平移的距離為x，兩個(gè)三角形重疊部分的面積為y，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖2，將△DEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得到的三角形為△D′E′F，設(shè)D′E′與AC交于點(diǎn)M，當(dāng)∠ECE′=∠EAC時(shí)，求線段CM的長(zhǎng)；
（3）如圖3，在△DEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，若設(shè)D′F所在直線與AB所在直線的交點(diǎn)為N，是否存在點(diǎn)N使△ACN為等腰三角形，若存在，求出線段BN的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）畫出圖形，分0≤x≤3和3＜x≤6兩種情況討論，①0≤x≤3時(shí)，構(gòu)造梯形JFCH和梯形HGCI，利用相似三角形的性質(zhì)，表示出HG、JF的長(zhǎng)，再根據(jù)梯形面積公式求解；②當(dāng)3＜x≤6時(shí)，構(gòu)造等腰三角形HBG，利用相似三角形的性質(zhì)，表示出HG的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式求解；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△DEF≌△DE′F′，從而得到∠ACE′=∠E′，進(jìn)而得到CM=ME′，CM=ME′，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出C M=ME′=

1

2

D′E′=

5

2

；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：①若AN=NC，則點(diǎn)N是AC的中垂線與AB的交點(diǎn)；②若AN=AC，則點(diǎn)N是以A為圓心、AC為半徑的圓與AB的交點(diǎn)；③若AC=NC，則點(diǎn)N是以C為圓心、AC為半徑的圓與AB的交點(diǎn)．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，如圖①，作HG⊥FC，
則

JF

AC

=

BF

BC

，
即

JF

4

=

3-x

3

，
JF=4-

4

3

x．
又有，

HG

AC

=

BG

BC

，
即

HG

4

=

3- x 2

3

，
HG=4-

2

3

x，
則S_梯形JFGH=

1

2

（4-

4

3

x+4-

2

3

x）

x

2

，
即y=2S_梯形JFGH=-x²+4x，
當(dāng)3＜x≤6時(shí)，如圖②，作HG⊥BE于G，
則

HG

AC

=

BG

BC

，
即

HG

4

=

3-(x-3) 2

3

，
HG=4-

2

3

x，
則y=

1

2

（6-x）（4-

2

3

x），
y=

1

3

x2-4x+12．

（2）在Rt△DEF中，∠DFE=90°，
∴∠ECE′+∠ACE′=90°，∠EAC+∠E=90°，
又∵∠ECE′=∠EAC，
∴∠ACE′=∠E，
∵△DEF旋轉(zhuǎn)得到△DE′F′，
∴∠E=∠E′，DE=D′E′，
∴∠ACE′=∠E′，
∴CM=ME′，
同理CM=MD′，
∴CM=ME′=MD′，
在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，
∴DE=

DF2+EF2

=5，
∴D′E′=DE=5，
∴C M=ME′=

1

2

D′E′=

5

2

．

（3）存在．
①若AN=NC，則點(diǎn)N是AC的中垂線與AB的交點(diǎn)；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠BAC+∠B=90°，∠ACN+∠BCN=90°，
又∵AN=NC，
∴∠BAC=∠ACN，
∴∠B=∠BCN，
∴BN=NC，
又∵AN=NC，
∴BN=AN=

1

2

AB=

5

2

；
②若AN=AC，則點(diǎn)N是以A為圓心、AC為半徑的圓與AB的交點(diǎn)；
（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，
∵AC=4，
∴AN=4，
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴AB=DE=5，
∴BN=AB-AN=1；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)N在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如答圖③，
∵AN=AC=4，
∴BN=AB+AN=9．
③若AC=NC，則點(diǎn)N是以C為圓心、AC為半徑的圓與AB的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H如圖④，
由探究得△ACH∽△ABC，
∴

AH

AC

=

AC

AB

，即

AH

4

=

4

5

，
∴AH=

16

5

，
∵AC=NC，CH⊥AB，
∴AH=HN，
∴AN=2AH=

32

5

，
∴BN=AN-AB=

7

5

．
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)N，使得△ACN為等腰三角形，所求BN的長(zhǎng)為1或9或

5

2

或

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合問題，涉及平移、旋轉(zhuǎn)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)等諸多內(nèi)容，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．