Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為邊、的長分別為3、8，是的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．

（1）求的值及經(jīng)過、兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若軸上有一點(diǎn)，使的值最小，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接、、，在直線上找一點(diǎn)，使得直接寫出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）k=12，一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x；（2）P(5，0)；（3）(，)或(，)．

【解析】

（1）先確定出點(diǎn)B，C坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)E坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法，即可求出直線AE解析式；
（2）先找出點(diǎn)F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F'的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線EF'的解析式，即可得出結(jié)論；
（3）先利用面積和差求出三角形PEF的面積，再求出直線EF的解析式，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，過點(diǎn)Q作y軸的平行線交直線EF于G，表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)系中求三角形面積的方法建立方程求解，即可得出結(jié)論．

（1）在矩形ABCD中，AB=3，AD=8，

∴CD=AB=3，BC=AD=8，

∵D(6，0)，

∴A(6，8)，C(3，0)，B(3，8)，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴E(3，4)，

∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，

∴k=3×4=12，

設(shè)經(jīng)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=ax+b，

∴，解得：，

∴經(jīng)過A.、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x；

（2）如圖1，由（1）可知，k=12，

∴反比例函數(shù)的解析式為：，

∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6，

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為2，

∴F(6，2)，

作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F′，則F′(6，2)，

連接EF′交x軸于P，此時(shí)，PE+PF的值最小，

∵E(3，4)，

∴由待定系數(shù)法可得：直線EF′的解析式為：y=2x+10，

令y=0，則2x+10=0，

∴x=5，

∴P(5，0)；

（3）如圖2，由（2）知，F′(6，2)，

∵E(3，4)，F(6，2)，

∴S△PEF=S△EFF′S△PFF′=×(2+2)×(3+6) ×(2+2)×(5+6)=4，

∵E(3，4)，F(6，2)，

∴由待定系數(shù)法得：直線EF的解析式為：y=x+6，

由（1）知，經(jīng)過A.、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x，

設(shè)點(diǎn)Q(m，m)，

過點(diǎn)Q作y軸的平行線交直線EF于G，

∴G(m，m+6)，

∴QG=|mm6|=|2m+6|，

∵S△QEF=S△PEF，

∴S△QEF=|2m+6|×(3+6)=4，

∴m=或m=，

∴Q(，)或(，)．