Question

如圖，AC是半圓O的直徑，B是半圓上的一點，D是弧AB的中點，連接AB、CB、CD、AD，延長AD交CB的延長線于點E．
（1）求證：CA=CE；
（2）若∠AOB=60°，，求半圓O的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AC是半圓O的直徑，
∴∠ADC=90°．
∵D是弧AB的中點，
∴=，
∴∠ACD=∠BCD．
∵在△ACD與△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（ASA），
∴CA=CE；

（2）解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB，∠OAB=60°．
∵在△CDE與△ABE中，
，
∴△CDE∽△ABE，
∴DE：BE=CE：AE，
∴DE•AE=BE•CE，
∵△ACD≌△ECD，
∴AD=DE=AE，
∵CE=CA=2OA=2AB，
∴AE•AE=BE•2AB，
∴AE²=4BE•AB．
設(shè)AB=x，BE=y，則4xy=AE²=24（2-），
即2xy=12（2-） ①．
在△ABE中，∵∠ABE=90°，
∴AB²+BE²=AE²，
∴x²+y²=24（2-） ②，
①+②，得x²+y²+2xy=36（2-），
∵x＞0，y＞0，
∴x+y=3-3 ③，
②-①，得x²+y²-2xy=12（2-），
∵x＞y，
∴x-y=3- ④，
③與④聯(lián)立，解得，
∴OA=AB=，
∴半圓O的面積π×（）²=3π．
分析：（1）由AC是半圓O的直徑得到∠ADC=90°，由D是弧AB的中點得到∠ACD=∠BCD，再利用ASA證明△ACD≌△ECD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到CA=CE；
（2）先根據(jù)有一個角為60°的三角形是等邊三角形得出△AOB是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=OA=OB，∠OAB=60°，再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得到△CDE∽△ABE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出DE：BE=CE：AE，將DE=AE，CE=2AB代入，得到AE²=4BE•AB，又在△ABE中，運用勾股定理得出AB²+BE²=AE²，將分別代入上面兩個式子，求出AB的值，然后根據(jù)圓的面積根據(jù)即可得出半圓O的面積．
點評：本題考查了圓周角定理，全等三角形、等邊三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓的面積及方程思想，綜合性較強，有一定難度．