Question

【題目】定義：對于平面直角坐標系中的任意直線MN及點P，取直線MN上一點Q，線段PQ與直線MN成30°角的長度稱為點P到直線MN的30°角的距離，記作d（P→MN）．
已知O為坐標原點，A（4，0），B（3，3）是平面直角坐標系中兩點．根據上述定義，解答下列問題：

（1）點A到直線OB的30°角的距離d（A→OB）=；
（2）已知點G到線段OB的30°角的距離d（G→OB）=2，且點G的橫坐標為1，則點G的縱坐標為 ．
（3）若點A到直線l：y=kx+1的30°角的距離d（A→l）=4，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）4
（2）1+ 或1﹣
（3）

解：如圖3中，作AF⊥直線l：y=kx+1于F，直線l交x軸于H，交y軸于G，設H（m，0），

易知OG=1，AE=4，AF=2，OA=4，

由△HOG∽△HFA，

∴ = ，

∴ =

解得m= 或 （舍棄），

∴H（ ，0），代入y=kx+1，得到k= = = ，

當直線l經過一、二、四象限如圖所示，同法可得k=﹣ =﹣ ．

【解析】解：（1）如圖1中，作AF⊥OB于F，在OB上取一點E，使得∠AEF=30°，則d（A→OB）=AE．

∵B（3，3），
∴∠AOF=∠OAF=45°，
∵OA=4，
∴AF=OF=2 ，
在Rt△AEF中，AE=2AF=4 ．
所以答案是4 ．（2）如圖2中，作GF⊥OB于F，∠GEO=30°，GE=2，

∴FG= EG=1，
設直線x=1與直線OB交于點H，與x軸交于M，
∵∠GHF=∠HGF=45°，OM=HM=1，GF=HF=1，
∴GH= ，
∴G（1，1+ ），
當G在直線OB下方時，同法可得G′（1，1﹣ ），
所以答案是1+ 或1﹣ ．
【考點精析】關于本題考查的兩點間的距離，需要了解同軸兩點求距離，大減小數就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記才能得出正確答案．