Question

（2012•永春縣質(zhì)檢）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠D=60°，菱形ABCD在直線上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作．

（1）對角線AC=

2

；
（2）經(jīng)過27次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長為（結(jié)果保留π）

（6

3

+3）π

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)可得出△ABC是等邊三角形，繼而可得出AC的長度；
（2）從圖中可以看出，第一次旋轉(zhuǎn)是以點(diǎn)B為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OB，解直角三角形可求出OB的長，圓心角是60°，第二次還是以點(diǎn)B為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OB，圓心角是60°，第三次就是以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，OC為半徑，旋轉(zhuǎn)的圓心角為60°，旋轉(zhuǎn)到此菱形就又回到了原圖，故這樣旋轉(zhuǎn)27次，就是這樣的9個弧長的總長．

解答：解：（1）∵菱形ABCD中，AB=2，∠D=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=2．
故答案為：2；

（2）∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴OA=OC=1，
∴OB=

AB2-OA2

=

3

，

第一次旋轉(zhuǎn)的弧長為：

60π× 3

180

=

3

3

π；
第二次旋轉(zhuǎn)的弧長為：

60π× 3

180

=

3

3

π；
第三次旋轉(zhuǎn)的弧長為：

60π×1

180

=

π

3

，
故可得旋轉(zhuǎn)27次菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長=9（

3

3

π+

3

3

π+

π

3

）=（6

3

+3）π．
故答案為：（6

3

+3）π．

點(diǎn)評：本題主要考查了弧長的計(jì)算公式以及菱形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出菱形每轉(zhuǎn)動3次一循環(huán)進(jìn)而得出經(jīng)過路徑是解題的關(guān)鍵．