解:(1)取a=1,得拋物線y=x
2+2x+3,
其頂點為P
1(-1,2).
取a=-1,得拋物線y=-x
2+2x+3,
其頂點為P
2(1,4).
由題意有P
1、P
2在直線l上,設直線l的解析式為y=kx+b,則

解得:

∴直線l的解析式為y=x+3.
(2)∵拋物線y=ax
2+2x+3的頂點P坐標為

.
顯然P

在直線y=x+3上.
又

能取到除0以外的所有實數(shù),
∴在y=x+3上僅有一點(0,3)不是該拋物線的頂點.
(3)猜想:對于拋物線y=ax
2+bx+c(a≠0),將其頂點的橫坐標減少

,縱坐標增加

分別作為點A的橫、縱坐標;把頂點的橫坐標增加

,縱坐標增加

分別作為點B的橫、縱坐標,則A,B兩點也在拋物線y=ax
2+bx+c(a≠0)上.證明如下:
∵拋物線y=ax
2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為(

),
∴點A的坐標為

,
點B的坐標為

.
∵

時,

∴點A

在拋物線y=ax
2+bx+c(a≠0),
同理有B

也在拋物線上,故結(jié)論成立.
分析:(1)取a=1和-1,求出兩點的坐標,用待定系數(shù)法求出直線l的解析式即可;
(2)求出拋物線y=ax
2+2x+3的頂點P坐標為

,根據(jù)其取值,即可得出不是該拋物線的頂點的坐標;
(3)猜想:對于拋物線y=ax
2+bx+c(a≠0),將其頂點的橫坐標減少

,縱坐標增加

分別作為點A的橫、縱坐標;把頂點的橫坐標增加

,縱坐標增加

分別作為點B的橫、縱坐標,則A,B兩點也在拋物線y=ax
2+bx+c(a≠0)上;求出其橫、縱坐標,把橫坐標代入函數(shù)式,驗證即可;
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的解析式及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,熟記二次函數(shù)的頂點坐標公式及其性質(zhì),是正確解答的關(guān)鍵.