Question

如圖，把一塊含45°的直角三角板AOB放置在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），直線x=2交x軸于點(diǎn)B．P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作直線PC⊥PO，交直線x=2于點(diǎn)C．過(guò)P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于點(diǎn)M，交直線x=2于點(diǎn)N．
（1）填空：∠NPB=

 

度；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，
①試判斷PO與PC的大小關(guān)系，并加以證明；
②設(shè)AP長(zhǎng)為m，四邊形POBC的面積為S，請(qǐng)求出S與m間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=2上移動(dòng)，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作⊙B，求線段PN與⊙B有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，t的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出MN∥OB，求出∠NPB=∠ABO即可；
（2）①證等腰△AOB、△AMP、△PNB，推出PN=BN=OM，推出∠NPC=∠MOP，證△OPM≌△PCN即可；②求出AM、OM，計(jì)算出矩形的面積減去兩個(gè)△MOP的面積即可；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，求出P的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)P恰好在⊙B上時(shí)，點(diǎn)C在第四象限，此時(shí)BP=BC，求出m，求出PM，OM即可；當(dāng)MN與⊙B相切時(shí)，證△OPM≌△PCN，推出PC=OP，求出PM、OM即可．

解答：（1）解：∵M(jìn)N∥OB，OA∥BN，∠AOB=90°，
∴四邊形MOBN是矩形，
∴MN∥OB，
∴∠NPB=∠ABO=45°，
故答案為：45．

（2）①PO=PC；
證明：
∵OM∥BN，MN∥OB，
∴四邊形OBNM是矩形，
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴△AOB、△AMP、△PNB是等腰直角三角形，
∴PN=BN=OM，
∵∠MPO+∠NPC=90°，∠MPO+∠MOP=90°，
∴∠NPC=∠MOP，
又∠OMP=∠PNC=90°，
∴△OPM≌△PCN，
∴PO=PC．

②依題意可得：AM=PM=

2

2

AP=

2

2

m，
∴OM=OA-AM=2-

2

2

m．
∴S=S矩形OBNM-2S△MOP=OM•OB-OM•PM=OM•PN=OM2=(2-

2

2

m)2=4-2

2

m+

m2

2

(0≤m＜

2

)

（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P、M、A三點(diǎn)重合，點(diǎn)C、N重合，由PC⊥BC，則線段PN與⊙B相切，即PN與⊙B有交點(diǎn)，此時(shí)PC=2，P（0，2）；
②當(dāng)點(diǎn)P恰好在⊙B上時(shí)，點(diǎn)C在第四象限，此時(shí)BP=BC，
∴

2

BN=CN-BN，即

2

OM=MP-OM

2

(2-

2

2

m)=

2

2

m-(2-

2

2

m)
∴m=2，
∴PM=

2

2

m=

2

，OM=2-

2

2

m=2-

2

∴P(

2

， 2-

2

2

)
當(dāng)MN與⊙B相切時(shí)，此時(shí)BC=BN=PN，
同理可證得：△OPM≌△PCN，則PC=OP，PN=OM，NC=MP，則MP+PN=CN+PN=3PN=MN，
故MP=

2

3

MN=

2

3

×2=

4

3

，MO=

1

3

MN=

1

3

×2=

2

3

，∴P(

4

3

， 

2

3

)
綜上，當(dāng)t=0或

4

3

≤t≤

2

時(shí)，線段PN與⊙B有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰直角三角形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．