Question

【題目】如圖，已知△ABC中，點D在邊BC上，∠DAB＝∠B，點E在邊AC上，滿足AE·CD＝AD·CE.

(1)求證：DE∥AB；

(2)如果點F是DE延長線上一點，且BD是DF和AB的比例中項，連接AF.求證：DF＝AF.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

(1)根據(jù)已知條件得到 ,根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AD＝BD ,等量代換即可得到結(jié)論;
(2)由BD是DF和AB的比例中項,得到BD2＝DF·AB ,等量代換得到AD2＝DF·AB ,推出 ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ,于是得到結(jié)論.

證明　(1)∵AE·CD＝AD·CE，

∴＝，

∵∠DAB＝∠B，

∴AD＝BD，

∴＝，

∴DE∥AB；

(2)∵BD是DF和AB的比例中項，

∴BD2＝DF·AB，

∵AD＝BD，

∴AD2＝DF·AB，

∴＝＝1，

∵DE∥AB，

∴∠ADF＝∠BAD，

∴△ADF∽△DBA，

∴＝，

∴DF＝AF.