Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)N，與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)是D，點(diǎn)P是直線(xiàn)BD下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)B、D重合，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)M．

求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

若四邊形PEMN是平行四邊形？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)F，設(shè)的周長(zhǎng)為C，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，求C與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出C的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是和；（3）當(dāng)時(shí)，C的最大值是15．

【解析】分析：

（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)函數(shù)解析式，列出關(guān)于b、c的方程組，解方程組求得b、c的值即可求得拋物線(xiàn)的解析式；將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線(xiàn) 求得m的值，從而得到直線(xiàn)BD的解析式，把直線(xiàn)BD的解析式和拋物線(xiàn)的解析式組成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）由題意結(jié)合（1）中所得結(jié)論易得MN的長(zhǎng)度，由拋物線(xiàn)的解析式和BD的解析式表達(dá)出線(xiàn)段PE的長(zhǎng)，結(jié)合題意可知，當(dāng)PE=MN時(shí)，四邊形PEMN是平行四邊形，由此即可列出方程，解方程即可求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）由題意結(jié)合點(diǎn)D和點(diǎn)N的坐標(biāo)易得△DMN的周長(zhǎng)，結(jié)合（2）可把線(xiàn)段PE的長(zhǎng)度用含“a”的代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，再證△PEF∽△DNM，即可由相似三角形的性質(zhì)得到C與a間的函數(shù)關(guān)系式，并求出C的最大值了.

詳解：

（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，

解得，

拋物線(xiàn)的解析式為．

∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

∴，

解得，

直線(xiàn)的解析式為．

聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)，得

∴，

解得舍，

∴；

（2）∵軸，

∴，

∴．

設(shè)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)則是

，

∵軸，要使四邊形PEMN是平行四邊形，必有，

即，解得，

當(dāng)時(shí)， ，即，

當(dāng)時(shí)， ，即，

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)是和；

（3）在中， ，

由勾股定理，得

，

的周長(zhǎng)是24．

軸，

，

又，

∽，

，

由知，

，

，

，

C與a的函數(shù)關(guān)系式為，

當(dāng)時(shí)，C的最大值是15．