【答案】
分析:(1)本題須根據(jù)拋物線與x軸的交點和對稱軸方程即可得出拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為.
(2)本題須根據(jù)A、C、B的坐標運用待定系數(shù)法即可求出求拋物線的解析式.
(3)本題須分以CD為底邊和以CD為一腰兩種情況分類討論,即可得出△PDC是等腰三角形符合條件的點P的坐標.
(4)本題須根據(jù)勾股定理,∠BCD=90° 再由拋物線對稱性可知點坐標M為(2,3).
解答:解:(1)∵拋物線與x軸交于點A(-1,0),對稱軸方程為x=1,
∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為(3,0).
(2)∵拋物線與y軸交于點C(0,3),∴設(shè)拋物線解析式為 y=ax
2+bx+3(a不等于0)根據(jù)題意,得 a-b+3=0 9a+3b+3=0 解得 a=-1,b=2,∴拋物線的解析式為 y=-x
2+2x+3
(3)存在由y=-x
2+2x+3得,D點坐標為(1,4),對稱軸為x=1
①若以CD為底邊,則PD=PC,設(shè)P點坐標為(x,y)根據(jù)勾股定理得x
2+(3-y)
2=(x-1)
2+(4-y)
2 即y=4-x 又P點(x,y)在拋物線上,
∴4-x=-x
2+2x+3,即 x
2-3x+1=0 解得 x=
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,
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<1 (舍去)∴x=
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∴y=4-x=
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,
即點P坐標為 (
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,
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)
②若以CD為一腰,因為點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上,
由拋物線對稱性知,點P與點C關(guān)于直線x=1對稱,此時點P坐標為(2,3)
∴符合條件的點P坐標為(
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,
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) 或(2,3)
(4)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根據(jù)勾股定理,得CB=
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,CD=
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,BD=
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∴CD
2+CB
2=BD
2=20
∴∠BCD=90°
設(shè)對稱軸交x軸于點E,過C作CM⊥DE,交拋物線于點M,垂足為F,在Rt△DCF中∵CF=DF=1∴∠CDF=45°
由拋物線對稱性可知,∠CDM=2×45°=90°,點坐標M為(2,3)
∴DM∥BC∴四邊形BCDM為直角梯形由∠BCD=90°及題意可知以BC為一底時,頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;以CD為一底或以BD為一底,且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用,在解題時要注意二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的應用.