Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形PAOC的周長最��？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由．

（3）如圖②，點Q是線段OB上一動點，連接BC，在線段BC上是否存在這樣的點M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】y=x2﹣x+3；在拋物線的對稱軸上存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9；點M的坐標為（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）把點A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解；

（2）A、B關于對稱軸對稱，連接BC，則BC與對稱軸的交點即為所求的點P，此時PA+PC=BC，四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC；根據勾股定理求得BC，即可求得；（3）分兩種情況分別討論，即可求得

試題解析：（1）由已知得解得． 所以，拋物線的解析式為y=x2﹣x+3．

（2）∵A、B關于對稱軸對稱，如圖1，連接BC， ∴BC與對稱軸的交點即為所求的點P，此時PA+PC=BC，

∴四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC， ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA=1，OC=3，BC==5， ∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在拋物線的對稱軸上存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9．

（3）∵B（4，0）、C（0，3）， ∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

①當∠BQM=90°時，如圖2，設M（a，b）， ∵∠CMQ＞90°， ∴只能CM=MQ=b，

∵MQ∥y軸， ∴△MQB∽△COB，

∴=，即=，解得b=，代入y=﹣x+3得，=﹣a+3，解得a=， ∴M（，）；

②當∠QMB=90°時，如圖3， ∵∠CMQ=90°， ∴只能CM=MQ， 設CM=MQ=m， ∴BM=5﹣m，

∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC， ∴△BMQ∽△BOC， ∴=，解得m=，

作MN∥OB， ∴==，即==， ∴MN=，CN=， ∴ON=OC﹣CN=3﹣=， ∴M（，），

綜上，在線段BC上存在這樣的點M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形，點M的坐標為（，）或（，）．