Question

已知a、b、c、d是四個不同的有理數(shù)，且（a+c）（a+d）=1，（b+c）（b+d）=1，那么（a+c）（b+c）的值是________．

Answer 1

-1
分析：由已知條件變形知，a、b是方程x²+（c+d）x+cd-1=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)韋達(dá)定理求得ab=cd-1，a+b=-c-d；最后將所求的代數(shù)式展開，將ab=cd-1、a+b=-c-d代入其中并求值即可．
解答：由（a+c）（a+d）=1，得
a²+（c+d）a+cd=1，①
由（b+c）（b+d）=1，得
b²+（c+d）b+cd=1，②
根據(jù)①②可知，a、b是方程x²+（c+d）x+cd-1=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴由韋達(dá)定理，得
ab=cd-1，
a+b=-c-d，
∴（a+c）（b+c）=c²+（a+b）c+ab=c²-c²-cd+cd-1=-1；
故答案是：-1．
點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．