Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．
（1）若AB=AC，∠BAC=90°．
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），試探討CF與BD的數(shù)量關系和位置關系；
②當點D在線段BC的延長線上時，①中的結論是否仍然成立，請在圖2中畫出相應圖形并說明理由；
（2）如圖3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°點D在線段BC上運動，試探究CF與BC位置關系．

Answer 1

解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；

②如圖2，∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；

（2）如圖3，過點A作AE⊥AC交BC于E，
∵∠BCA=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，，
∴△ACF≌△AED（SAS），
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD．
分析：（1）①根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD；
②先求出∠CAF=∠BAD，然后與①的思路相同求解即可；
（2）過點A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=AE，∠AED=45°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)同角的余角相等求出兩邊的夾角相等是證明三角形全等的關鍵，此類題目的特點是各小題求解思路一般都相同．