【題目】在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=0.6,將△ABC繞點C順時針旋轉,得到△A1B1C.
(1)如圖1,當點B1在線段BA延長線上時.①求證:BB1∥CA1;②求△AB1C的面積;
(2)如圖2,點E是BC邊的中點,點F為線段AB上的動點,在△ABC繞點C順時針旋轉過程中,點F的對應點是F1 , 求線段EF1長度的最大值與最小值的差.
【答案】
(1)解:①證明:∵AB=AC,B1C=BC,
∴∠BB1C=∠B,∠B=∠ACB,
∵∠A1CB1=∠ACB(旋轉角相等),
∴∠BB1C=∠A1CB1,
∴BB1∥CA1,
②過A作AF⊥BC于F,過C作CE⊥AB于E,
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=CF,
∵cos∠ABC=0.6,AB=5,
∴BF=3,
∴BC=6∴B1C=BC=6
∵CE⊥AB,
∴BE=B1E= ×6=
,
∴BB1= ,CE=
,
∴AB1= ,
∴△AB1C的面積為: =
(2)解:如圖3,
過C作CF⊥AB于F,以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1,EF1有最小值.
此時在Rt△BFC中,CF=4.8,
∴CF1=4.8,
∴EF1的最小值為4.8﹣3=1.8;
如圖,以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1',EF1'有最大值.
此時EF1'的最大值為EC+CF1'=3+6=9,
∴線段EF1的最大值與最小值的差為9﹣1.8=7.2.
【解析】(1)①根據旋轉的性質和平行線的性質可證得BB1∥CA1;②過A作AF⊥BC于F,過C作CE⊥AB于E,根據等腰三角形的性質、解直角三角形及三角形的面積公式,即可求得答案。
(2)過C作CF⊥AB于F,以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1,可求得EF1的最小值,以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1',求得EF1'的最大值,即可求得線段EF1的最大值與最小值的差。
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【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°,將△DAE繞點D按逆時針方向旋轉90°得到△DCM.
(1)求證:EF=MF;(2)當AE=1時,求EF的長.
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【題目】如圖,AH是⊙O的直徑,AE平分∠FAH,交⊙O于點E,過點E的直線FG⊥AF,垂足為F,B為半徑OH上一點,點E,F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上.
(1)求證:直線FG是⊙O的切線;
(2)若CD=10,EB=5,求⊙O的直徑.
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【題目】每年11月的最后一個星期四是感恩節(jié),小龍調查了初三年級部分同學在感恩節(jié)當天將以何種方式表達感謝幫助過自己的人.他將調查結果分為如下四類:A類﹣﹣當面致謝;B類﹣﹣打電話;C類﹣﹣發(fā)短信息或微信;D類﹣﹣寫書信.他將調查結果繪制成如圖不完整的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖:
請你根據圖中提供的信息完成下列各題:
(1)補全條形統(tǒng)計圖;
(2)在A類的同學中,有3人來自同一班級,其中有1人學過主持.現準備從他們3人中隨機抽出兩位同學主持感恩節(jié)主題班會課,請你用樹狀圖或表格求出抽出的兩人都沒有學過主持的概率.
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【題目】我們知道:任意一個有理數與無理數的和為無理數,任意一個不為零的有理數與一個無理數的積為無理數,而零與無理數的積為零.由此可得:如果ax+b=0,其中a、b為有理數,x為無理數,那么a=0且b=0.
運用上述知識,解決下列問題:
(1)如果(a-2)+b+3=0,其中a、b為有理數,那么a= ,b= ;
(2)如果(2+)a-(1-
)b=5,其中a、b為有理數,求a+2b的值.
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【題目】如圖,在正三角形ABC中,D,E,F分別是BC,AC,AB上的點,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于 .
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A在第一象限,點B(a,0),點C(0,b)分別在x軸,y軸上,其中a,b是二元一次方程的解,且a為不等式
的最大整數解.
(1)證明:OB=OC;
(2)如圖1,連接AB,過點A作AD⊥AB交y軸于點D,在射線AD上截取AE=AB,連接CE,取CE的中點F,連接AF并延長至點G,使FG=AF,連接CG,OA.當點A在第一象限內運動(AD不經過點C)時,證明:∠OAF的大小不變;
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【題目】如圖,AD是⊙O的切線,切點為A,AB是⊙O的弦.過點B作BC∥AD,交⊙O于點C,連接AC,過點C作CD∥AB,交AD于點D.連接AO并延長交BC于點M,交過點C的直線于點P,且∠BCP=∠ACD.
(1)判斷直線PC與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)若AB=9,BC=6.求PC的長.
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