Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊C=5，兩直角邊的長a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的兩根．
（1）求m的值（2）求△ABC的面積（3）求較小銳角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得m的值后，再求得方程的解，進(jìn)而求出△ABC的面積與較小銳角的正弦值．
解答：解：（1）∵a，b是方程x²-mx+2m-2=0的解，
∴a+b=m，ab=2m-2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a²+b²=c²，
而a²+b²=（a+b）²-2ab，∵c=5，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=25，
即：m²-2（2m-2）=25，解得，m₁=7，m₂=-3，
∵a，b是Rt△ABC的兩條直角邊的長．
∴a+b=m＞0，m=-3不合題意，舍去．
∴m=7，

（2）△ABC的面積=ab，
∵a+b=m=7，a²+b²=（a+b）²-2ab=25，解得：ab=12，
故）△ABC的面積=ab=×12=6；
另解：∵m=7，a，b是方程的兩個根，
∴ab==12，
∴△ABC的面積=ab=×12=6；
（3）當(dāng)m=7時，原方程為x²-7x+12=0，
解得，x₁=3，x₂=4，
不妨設(shè)a=3，則sinA==，
∴Rt△ABC中較小銳角的正弦值為．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及銳角三角形的定義，難度較大，主要掌握利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理，正弦的概念求解．