Question

【題目】在正方形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，F為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝CF.

（1）求證：△BCE≌△DCF；

（2）若∠FDC＝30°，求∠BEF的度數(shù)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：

(1) 結(jié)合條件觀察圖形可知，在待求證的這組全等三角形中，有一組對(duì)應(yīng)角∠BCE與∠DCF互補(bǔ)，根據(jù)四邊形ABCD是正方形的條件易知∠BCE=∠DCF. 以這組對(duì)應(yīng)角為著眼點(diǎn)進(jìn)一步觀察圖形易知，作為正方形ABCD邊的BC與DC相等，條件中又已知CE=CF，故可以利用SAS證明這組三角形全等.

(2) 求∠BEF的度數(shù)就是求∠BEC+∠CEF的度數(shù). 在Rt△DCF中易知∠DFC的度數(shù). 利用第(1)小題的結(jié)論可知∠BEC=∠DFC，從而得到∠BEC的度數(shù). 利用條件可以得出△ECF為等腰直角三角形的結(jié)論，從而得到∠CEF的度數(shù). 綜合上面的結(jié)果即得∠BEF的度數(shù).

試題解析：

(1) 證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCD=90°，

∴∠DCF=∠BCD=90°，即∠BCE=∠DCF=90°，

∵在△BCE與△DCF中：

，

∴△BCE≌△DCF (SAS).

(2) ∠BEF的度數(shù)為105°. 求解過程如下.

∵∠FDC=30°，∠DCF=90°，

∴在Rt△DCF中，∠DFC=90°-∠FDC=90°-30°=60°，

∵△BCE≌△DCF，

∴∠BEC=∠DFC=60°，

∵CE=CF，∠DCF=90°，

∴△ECF為等腰直角三角形，

∴∠CEF=∠CFE=45°，

∵∠BEC=60°，∠CEF=45°，

∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=60°+45°=105°.