Question

【題目】如圖，在中，，垂足為點，，．

（1）若，求的長；

（2）若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6.

【解析】

（1）在直角△ABD與直角△ADC中，根據勾股定理知AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，據此可以求得AD的長度；

（2）作∠DAC的平分線AE，交BC于點E，作EF⊥AC于點F．易證△ADB≌△ADE≌△AFE，則BD=DE=EF=3，AD=AF，設AD=AF=y，則在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得AD的長度．

解：（1）設AB=2x，AC=3x．

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°

∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，

∴4x2-32=9x2-82

解得，x=或x=（舍去），

∴AC=3，

∴AD=（3）2-82=35，

則AD=；

（2）如圖，作∠DAC的平分線AE，交BC于點E，作EF⊥AC于點F．

∵AE平分∠CAD，，

∴∠BAD=∠DAE=∠EAF，

∵AD⊥BC，EF⊥AC，

∴∠ADB=∠ADE=∠AFE=90°，

∵AD為公共邊，

∴△ABD≌△AED（ASA）；

∵AE為公共邊，

∴△AED≌△AEF（AAS）；

∴AD=AF，BD=DE=EF=3，

∴CE=8-3=5，

在Rt△CEF中，由勾股定理，得

；

設AD=AF=y，在Rt△ACD中，由勾股定理，得

，

解得：，

∴；