Question

如圖所示，在形狀和大小不確定的△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，P在EF或EF的延長線上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，設BP=y，PE=x．

（1）當x=EF時，求S_△DPE：S_△DBC的值；

（2）當CQ=CE時，求y與x之間的函數(shù)關系式；

（3）①當CQ=CE時，求y與x之間的函數(shù)關系式；

②當CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時，直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）1：36     （2）y=6﹣x     （3）y=6（n﹣1）﹣x

【解析】

試題分析：（1）∵E、F分別是AB、AC的中點，x=EF，

∴EF∥BC，且EF=BC，

∴△EDP∽△CDB，

∴=，

∴S_△DPE：S_△DBC=1：36；

（2）如右圖，設CQ=a，DE=b，BD=c，則DP=y﹣c；

不妨設EQ=kCQ=ka（k＞0），則DQ=ka﹣b，CD=（k+1）a﹣b．

過Q點作QM⊥BC于點M，作QN⊥BP于點N，

∵BQ平分∠CBP，

∴QM=QN．

∴，

又∵，

∴，即 ①

∵EP∥BC，∴，即 ②

∵EP∥BC，∴，即 ③

由①②③式聯(lián)立解得：y=6k﹣x ④

當CQ=CE時，k=1，

故y與x之間的函數(shù)關系式為：y=6﹣x．

（3）當CQ=CE時，k=2，由（2）中④式可知，y與x之間的函數(shù)關系式為：y=12﹣x；

當CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時，k=n﹣1，由（2）中④式可知，y與x之間的函數(shù)關系式為：y=6（n﹣1）﹣x．

考點：相似三角形的判定與性質；三角形的面積；角平分線的性質；三角形中位線定理．

點評：本題綜合考查了相似三角形線段之間的比例關系、三角形中位線定理和角平分線性質等重要知識點，難度較大．在解題過程中，涉及到數(shù)目較多的線段和較為復雜的運算，注意不要出錯．本題第（2）（3）問，采用了從一般到特殊的解題思想，簡化了解答過程；同學們亦可嘗試從特殊到一般的解題思路，即當CQ=CE時，CQ=CE時分別探究y與x的函數(shù)關系式，然后推廣到當CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時的一般情況．