Question

【題目】已知拋物線與x軸交于A（6，0）、B（﹣ ，0）兩點，與y軸交于點C，過拋物線上點M（1，3）作MN⊥x軸于點N，連接OM．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖1，將△OMN沿x軸向右平移t個單位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′與直線AC分別交于點E、F．
①當點F為M′O′的中點時，求t的值；
②如圖2，若直線M′N′與拋物線相交于點G，過點G作GH∥M′O′交AC于點H，試確定線段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+ ），把點M（1，3）代入得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ （x﹣6）（x+ ），

∴y=﹣ x2+ x+2．

（2）

解：①如圖1中，AC與OM交于點G．連接EO′．

∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，

∴ =3，

∴ ，∵∠AOC=∠MON=90°，

∴△AOC∽△MNO，

∴∠OAC=∠NMO，

∵∠NMO+∠MON=90°，

∴∠MON+∠OAC=90°，

∴∠AGO=90°，

∴OM⊥AC，

∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，

∴O′M′∥OM，

∴O′M′⊥AC，

∵M′F=FO′，

∴EM′=EO′，

∵EN′∥CO，

∴ ，

∴ ，

∴EN′= （5﹣t），

在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′= （5﹣t），EO′=EM′= + t，

∴（ + t）2=1+（ ﹣ t）2，

∴t=1．

②如圖2中，

∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，

∴GH⊥AC，

∴∠GHE=90°，

∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，

∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，

∴△GHE∽△AOC，

∴ = ，

∴EG最大時，EH最大，

∵EG=GN′﹣EN′=﹣ （t+1）2+ （t+1）+2﹣ （5﹣t）=﹣ t2+ t+ =﹣ （t﹣2）2+ ．

∴t=2時，EG最大值= ，

∴EH最大值= ．

∴t=2時，EH最大值為 ．

【解析】（1）設拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+ ），把點M（1，3）代入即可求出a，進而解決問題．
（2）①如圖1中，AC與OM交于點G．連接EO′，首先證明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解決問題． ②由△GHE∽△AOC得 = = ，所以EG最大時，EH最大，構建二次函數(shù)求出EG的最大值即可解決問題．本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)OM⊥CA，學會利用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，學會構建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用拋物線與坐標軸的交點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．