Question

如圖是德國(guó)1998年發(fā)行的紀(jì)念在柏林召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的郵票，它的圖案是一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形被分割成大小各不相同的11個(gè)正方形．如果這個(gè)分割圖中所有的正方形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最小是多少？

Answer 1

分析：首先假設(shè)最小、次小和中間小正方形的邊長(zhǎng)依次為x，y，z．根據(jù)圖中正方形邊長(zhǎng)間的大小關(guān)系，列出最大正方形的相鄰兩邊長(zhǎng)相等用x、y、z表示的方程．根據(jù)長(zhǎng)方形的寬列出關(guān)于x、y、z的方程．將上面兩方程組成方程組，解得x、y、z間的數(shù)值大小關(guān)系．進(jìn)而求出x的最小值，那么y、z也就確定．最后求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算方法，求得周長(zhǎng)．至此問(wèn)題得解．

解答：解：設(shè)最小、次小和中間小正方形的邊長(zhǎng)依次為x，y，z（如圖，正方形邊長(zhǎng)均寫(xiě)成正方形內(nèi)），則其它正方形的邊長(zhǎng)如圖所示，從而，最大正方形的邊長(zhǎng)為
x+3y+2z=3y+8x-z，
化簡(jiǎn)得：7x=3z①
又考慮長(zhǎng)方形的寬，可得
6x+5y+2z=3x+8y+z，
化簡(jiǎn)得：3x-3y+z=0②
由①，②得：

7x=3z 16x=9y

由于x，y，z都是正整數(shù)，則x的最小值為9，從而y和z的最小值依次為16，21，此時(shí)長(zhǎng)方形的鄰邊長(zhǎng)分別為：
9x+6y=177，
6x+5y+2z=176．
因此所求最小周長(zhǎng)為（177+176）×2=706．
答：這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最小是706．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形理清各正方形邊長(zhǎng)間的關(guān)系．