Question

如圖所示，等邊△ABC的邊長為 cm，⊙O的半徑為r cm．當(dāng)圓心O從A點出發(fā)，沿著線路A—B—C—A運動，回到A點時，⊙O隨著點O的運動而移動． (1) 若r＝ cm，求⊙O首次與BC邊相切時，AO的長 (2) 在⊙O移動過程中，從切點的個數(shù)來考慮，相切有幾種不同的情況？寫出不同情況下，r的取值范圍及相應(yīng)的切點的個數(shù) (3) 設(shè)⊙O在整個移動的過程中，在△ABC內(nèi)部．⊙O經(jīng)過的部分的面積為S．在S＞0時，求S關(guān)于r的函數(shù)解析式，寫出自變量r的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	設(shè)⊙O首次與BC相切于D，連結(jié)OD，則OD⊥BC，且OD＝r＝．在Rt△BOD中，∠OBD＝，所以O(shè)B＝2，AO＝AB－OB＝(6－2)cm．
(2)	由等邊三角形的邊長為6cm，可得它一邊上的高為9 cm．①當(dāng)⊙O的半徑為r＝9 cm時，⊙O在移動中與△ABC的邊共相切三次，即切點個數(shù)為3；②當(dāng)0＜r＜9cm時，⊙O在移動中與△ABC的邊共相切6次，即切點個數(shù)為6；③當(dāng)R＞9cm時，⊙O在移動中與△ABC的邊不相切，即切點個數(shù)為0．
(3)	如圖所示，易知S＞0時，⊙O在移動中． 　　當(dāng)r≥3時，知⊙O過△ABC的中心，經(jīng)過的面積即為△ABC的面積，故S＝·BC×AF＝×6×9＝27(cm)2． 　　當(dāng)0＜r＜3 cm時，在△ABC內(nèi)部未經(jīng)過的部分為止△的內(nèi)部，這個正三角形的三邊分別與原三角形三邊平行，且平行線間的距離為r．連結(jié)，并延長，分別交，BC于E，F(xiàn)，則AF⊥BC，⊥，EF＝r．過作⊥AB于點G，則＝r．因為＝，所以＝2r，所以△的高＝AF－3r＝9－3r，＝＝(3－r)，所以所以所求的解析式為S＝S△ABC－＝××9－(3－r)2＝r2＋r(0＜r＜3)