如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)C(1,1)為圓心,2為半徑作圓,交x軸于A.B兩點(diǎn),開口向下的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,B,且其頂點(diǎn)P在⊙C上.
1.求∠ACB的大小
2.寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)
3.由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3),求出拋物線的解析式;
4.在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D點(diǎn),使線段OP與CD互相平分?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
1.120°
2.A(1- ,0),B(1+
,0)
3.y=-x2+2x+2
4.點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,2)
解析:解:(1)作CH⊥x軸于H,
∵CH=1,半徑CB=2,
∴∠BCH=60°,
即∠ACB=120°.
(2)∵CH=1,半徑CB=2,
∴HB= ,
∴A的坐標(biāo)是(1- ,0),B的坐標(biāo)是(1+
,0).
(3)設(shè)拋物線的解析式是y=a(x-1)2+3,
把點(diǎn)B(1+ ,0)代入上式,解得:a=-1,
∴y=-1(x-1)2+3=-x2+2x+2,
即拋物線的解析式是y=-x2+2x+2.
(4)假設(shè)存在點(diǎn)D使線段OP與CD互相平分,
則四邊形OCPD是平行四邊形,
∴PC∥OD,PC=OD,
∵PC∥y軸,
∴點(diǎn)D在y軸上,
∵PC=2,
∴OD=2,
即D(0,2),
又D(0,2)滿足y=-x2+2x+2,
∴點(diǎn)D在拋物線上,
∴存在D點(diǎn),使線段OP與CD互相平分,且點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,2).
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