Question

已知拋物線y=-

2

3

x2+bx+c與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，0）和B（x₂，0），與y軸交于點(diǎn)C，且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個(gè)根（x₁＜x₂）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)A作AD∥CB交拋物線于點(diǎn)D，求四邊形ACBD的面積；
（3）如果P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過點(diǎn)P作平行于x軸的直線l交BC于點(diǎn)Q，那么在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過解方程求出A、B的坐標(biāo)，代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．（由于A、B的坐標(biāo)是方程的兩個(gè)根，那么拋物線的解析式其實(shí)就是二次項(xiàng)系數(shù)與方程的代數(shù)式部分的乘積）．
（2）可將四邊形分成三角形ABC和ABD兩部分求解，已知了AB的長，關(guān)鍵是求出C、D的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．求D點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可先求出直線BC的解析式，根據(jù)BC∥AD，那么直線AD與直線BC的斜率相同，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)即可求出直線AD的解析式，聯(lián)立拋物線即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后按上面所說的四邊形的面積求法進(jìn)行計(jì)算即可．
（3）先根據(jù)直線AC、BC的解析式設(shè)出P、Q的坐標(biāo)（由于P、Q的縱坐標(biāo)相同，因此可設(shè)縱坐標(biāo)，然后根據(jù)直線解析式表示出橫坐標(biāo)）．分三種情況：
①PQ=PR，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)與PQ的長相等，據(jù)此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．進(jìn)而可求出R的坐標(biāo)．
②PQ=QR，同①
③PR=QR，R在PQ的垂直平分線上，此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是PQ的一半．由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．進(jìn)而可求出R的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-2x-3=0，
得x₁=-1，x₂=3．
∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0）．
∴

- 2 3 ×(-1)2+b•(-1)+c=0 - 2 3 ×32+b•3+c=0

，
解，得

b= 4 3 c=2

，
∴拋物線的解析式為y=-

2

3

x²+

4

3

x+2．

（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
又點(diǎn)B（3，0），可求直線BC的解析式為y=-

2

3

x+2．
∵AD∥CB，
∴設(shè)直線AD的解析式為y=-

2

3

x+b′．
又點(diǎn)A（-1，0），
∴b′=-

2

3

，直線AD的解析式為y=-

2

3

x-

2

3

．
解

y=- 2 3 x2+ 4 3 x+2 y=- 2 3 x- 2 3

，
得

x1=-1 y1=0

，

x2=4 y2=- 10 3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，-

10

3

）．
過點(diǎn)D作DD’⊥x軸于D’，DD’=

10

3

，則又AB=4．
∴四邊形ACBD的面積S=

1

2

AB•OC+

1

2

AB•DD’=10

2

3

．

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)R，設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)E（0，m），
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，
∴0＜m＜2，
∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，2），
∴可求直線AC的解析式為y=2x+2，
∴點(diǎn)P（

1

2

m-1，m）．
∵直線BC的解析式為y=-

2

3

x+2，
∴點(diǎn)Q（-

3

2

m+3，m）．
∴PQ=-2m+4．在△PQR中，
①當(dāng)RQ為底時(shí)，過點(diǎn)P作PR₁⊥x軸于點(diǎn)R₁，則∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
∴-2m+4=m，
解得m=

4

3

，
∴點(diǎn)P（-

1

3

，

4

3

），
∴點(diǎn)R₁坐標(biāo)為（-

1

3

，0）．
②當(dāng)RP為底時(shí)，過點(diǎn)Q作QR₂⊥x軸于點(diǎn)R₂，
同理可求，點(diǎn)R₂坐標(biāo)為（1，0）．
③當(dāng)PQ為底時(shí)，取PQ中點(diǎn)S，過S作SR₃⊥PQ交x軸于點(diǎn)R₃，
則PR₃=QR₃，∠PR₃Q=90度．
∴PQ=2R₃S=2m．
∴-2m+4=2m，
解，得m=1，
∴點(diǎn)P（-

1

2

，1），點(diǎn)Q（

3

2

，1），可求點(diǎn)R₃坐標(biāo)為（

1

2

，0）．
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)R₁，點(diǎn)R₂，點(diǎn)R₃都滿足條件．
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)R，它們分別是R₁（-

1

3

，0），R₂（1，0）和點(diǎn)R₃（

1

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的解法，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)、等腰三角形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．