Question

我們知道，當(dāng)一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱這條直線與這個(gè)圓相交．類似地，我們定義：當(dāng)一條直線與一個(gè)正方形有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱這條直線與這個(gè)正方形相交．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)為O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．

(1)判斷直線y＝x＋與正方形OABC是否相交，并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)d是點(diǎn)O到直線y＝－x＋b的距離，若直線y＝－x＋b與正方形OABC相交，求d的取值范圍．

Answer 1

 (1)解：相交.                                                    

  ∵ 直線y＝x＋與線段OC交于點(diǎn)(0，)同時(shí)                      

  直線y＝x＋與線段CB交于點(diǎn)(，1)，                          

  ∴ 直線y＝x＋與正方形OABC相交.

(2)解：當(dāng)直線y＝－x＋b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，

  即有 1＝－＋b，

 ∴  b＝＋1.                                  

  即 y＝－x＋1＋.                                          

 記直線y＝－x＋1＋與x、y軸的交點(diǎn)分別為D、E.

 則D(，0)，E(0，1＋).  

 

法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA＝ ＝＝，

 ∴ ∠EDO＝60°， ∠OED＝30°.

 過(guò)O作OF₁⊥DE，垂足為F₁，則OF₁＝d₁. ……7分

 在Rt△OF₁E中，∵ ∠OED＝30°，

  ∴  d₁＝.                                                  

  法2：∴ DE＝(3＋).

  過(guò)O作OF₁⊥DE，垂足為F₁，則OF₁＝d₁.                         

  ∴ d₁＝×(1＋)÷(3＋)

       ＝.                                                   

  ∵  直線y＝－x＋b與直線y＝－x＋1＋平行.

  法1：當(dāng)直線y＝－x＋b與正方形OABC相交時(shí)，一定與線段OB相交，且交點(diǎn)不與

  點(diǎn)O、 B重合.故直線y＝－x＋b也一定與線段OF₁相交，記交點(diǎn)為F，則 F不與

  點(diǎn)O、 F₁重合，且OF＝d.                                                                                        

  ∴  當(dāng)直線y＝－x＋b與正方形相交時(shí)，   有  0＜d＜.                                              

   法2：當(dāng)直線y＝－x＋b與直線y＝x(x＞0)相交時(shí)，

   有 x＝－x＋b，即x＝.

   ① 當(dāng)0＜b＜1＋時(shí)，0＜x＜1， 0＜y＜1.

   此時(shí)直線y＝－x＋b與線段OB相交，且交點(diǎn)不與點(diǎn)O、 B重合.

   ② 當(dāng)b＞1＋時(shí)，x＞1，

   此時(shí)直線y＝－x＋b與線段OB不相交.

   而當(dāng)b≤0時(shí)，直線y＝－x＋b不經(jīng)過(guò)第一象限，即與正方形OABC不相交.

   ∴  當(dāng)0＜b＜1＋時(shí)，直線y＝－x＋b與正方形OABC相交.         

   此時(shí)有0＜d＜.