(1)證明:連接OC,如圖1
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201310/5285bb903d180.png)
,
∵∠A=30°,
∴∠BOC=60°,
又∵∠BDC=30°
∴∠DCO=90°,
∴CD是⊙的切線;
(2)證明:
∵AC∥BD,
∴∠ABO=∠BAC=30°,
而∠BDC=30°,
∴∠ABO=∠BDC,
∴AB∥CD,
∴四邊形ABDC是平行四邊形;
在Rt△CDO中,
∵∠BDC=30°,OC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
∴OD=2OC=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,CD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
OC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/674.png)
,
∴DB=OD-OB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,
∴平行四邊形ABDC的周長=2(DB+DC)=2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/674.png)
);
(3)解:∵AO⊥BO,OA=OB,
∴∠ACB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
∠AOB=45°,∠ABO=45°,
∴AB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
OA=2,
又∵∠CAB=∠BAE,∠ACB=∠ABO,
∴△ABC∽△AEB,
∴S
△ABC:S
△AEB=AC
2:AB
2,
過點B作BF⊥AC,垂足為F,如圖2,
在Rt△ABF中,∠BAF=30°,
∴BF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×2=1,AF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
BF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
∵△BCF為等腰直角三角形,
∴CF=BF=1,
∴AC=AF+CF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
+1,
∴S
△ABC:S
△AEB=AC
2:AB
2,=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
+1)
2:2
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/74434.png)
.
分析:(1)連接OC,根據圓周角定理得到∠BOC=2∠A=60°,而∠BDC=30°,則∠DCO=90°,根據切線的判定定理即可得到結論;
(2)由AC∥BD得∠ABO=∠BAC=30°,而∠BDC=30°,則∠ABO=∠BDC,可得到AB∥CD,根據平行四邊形的判定即可得到四邊形ACDB是平行四邊形;在Rt△CDO中,∠BDC=30°,OC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,根據含30°的直角三角形三邊的關系得到OD=2OC=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,CD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
OC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/674.png)
,則DB=OD-OB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,利用平行四邊形ABDC的周長=2(DB+DC)計算即可;
(3)由AO⊥BO,OA=OB得到∠ACB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
∠AOB=45°,∠ABO=45°,根據等腰直角三角形的性質得到AB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
OA=2,而∠CAB=∠BAE,∠ACB=∠ABO,根據相似三角形的判定得到
△ABC∽△AEB,利用其性質得到S
△ABC:S
△AEB=AC
2:AB
2;過點B作BF⊥AC,垂足為F,在Rt△ABF中,∠BAF=30°,根據含30°的直角三角形三邊的關系得到BF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×2=1,AF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
BF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
,并且CF=BF=1,則AC=AF+CF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
+1,計算S
△ABC:S
△AEB=AC
2:AB
2,=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
+1)
2:2
2即可.
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質:有兩組角對應相等的兩個三角形相似;相似三角形面積的比等于相似比的平方.也考查了圓周角定理、含30°的直角三角形三邊的關系、等腰直角三角形的性質、切線的判定定理以及平行四邊形的判定定理.