Question

已知：平行四邊形ABCD的兩鄰邊的長m，n是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍．
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，四邊形ABCD是菱形？
（3）當(dāng)k為何值時(shí)，四邊形ABCD的兩條對角線的長相等，且都等于？求出這時(shí)四邊形ABCD的周長和面積．

Answer 1

解：（1）
∵平行四邊形ABCD的兩鄰邊的長m，n是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-）≥0，m+n=k＞0，mn=-＞0，
（k-1）²≥0，k＞0，k＞，
即k的取值范圍是k＞；

（2）∵要使四邊形是菱形，則m=n，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-）=0，
即k=1，
∴當(dāng)k為1時(shí)，四邊形ABCD是菱形；

（3）∵四邊形是平行四邊形，且四邊形的對角線相等，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：m²+n²=（）²，
即（m+n）²-2mn=，
∵m+n=k，mn=-，
∴k²-2（-）=，
k₁=2，k₂=-1（因?yàn)橛桑?）得出k＞，所以此時(shí)的值舍去），
把k=2代入方程得：x²-2x+=0，
解方程得：m=，n=或n=，m=，
∴矩形ABCD的周長是2×（+）=4，面積是×=．
即此時(shí)四邊形ABCD的周長是4，面積是．
分析：（1）根據(jù)題意求出△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-）≥0，m+n=k＞0，mn=-＞0，求出不等式組的解集即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出m=n，即可得出方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即△=0，求出即可；
（3）得出四邊形是矩形，根據(jù)勾股定理和根與系數(shù)的關(guān)系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周長和面積．
點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用．