Question

如圖所示，M、N是⊙O上的兩點，連接AM、NA，B、E是、的中點，若的度數為120°．求證：△ACD是正三角形．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：連接AB、AE． ∵B、E是、的中點，∴=，=． ∴∠EAC=∠E，∠B=∠DAE．即∠B＋∠BAC=∠E＋∠DAE． ∴∠ACD=∠ADE． 又的度數為120°，∴∠CAD=60°． ∴△CAD是等邊三角形．

提示：

要證△ACD是正三角形，由正三角形的判定方法可以直接證三邊相等或先證是等腰三角形，再證有一個內角為60°．因∠CAD所對的弧的度數為120°，則可知∠CAD=60°，所以只要證AC=AD即可．欲證AC=AD，則要證∠ACD=∠ADC．因這兩個角不是圓周角，要轉化為圓周角．考慮到B、E是、的中點，故應有等角．所以可以連接AB、AE構造等角．