Question

設(shè)C₁，C₂，C₃，…為一群圓，其作法如下：C₁是半徑為a的圓，在C₁的圓內(nèi)作四個(gè)相等的圓C₂（如圖），每個(gè)圓C₂和圓C₁都內(nèi)切，且相鄰的兩個(gè)圓C₂均外切，再在每一個(gè)圓C₂中，用同樣的方法作四個(gè)相等的圓C₃，依此類推作出C₄，C₅，C₆，…，則
（1）圓C₂的半徑長(zhǎng)等于

 

（用a表示）；
（2）圓C_k的半徑為

 

（k為正整數(shù)，用a表示，不必證明）

Answer 1

分析：（1）連接AB、BC、CD、AD，AC，設(shè)小圓的半徑是r，根據(jù)圓與圓相切，得到AC=2a-2r，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理得到AC=2

2

r，推出方程2a-2r=2

2

r，求出即可；
（2）求出r=（

2

-1）a，r₃=（

2

-1）r=(

2

-1)2a，r₄=(

2

-1)3，得出圓C_k的半徑為r_k=（

2

-1 ）^k-1 a即可．

解答：（1）解：連接AB、BC、CD、AD，AC，
設(shè)小圓的半徑是r，
根據(jù)圓與圓相切，
∴AC=2a-2r，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
由勾股定理得：AC=2

2

r，
∴2a-2r=2

2

r，
解得：r=（

2

-1）a，
故答案為：（

2

-1）a．

（2）解：由（1）得：r=（

2

-1）a，
同理圓C₃的半徑是r₃=（

2

-1）r=(

2

-1)2a，
C₄的半徑是r₄=(

2

-1)3，
…
圓C_k的半徑為r_k=（

2

-1 ）^k-1 a，
故答案為：r_k=（

2

-1 ）^k-1 a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)和判定，勾股定理，相切兩圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)計(jì)算結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．