Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD為直徑作⊙O′交AD于點E，過點E作EF⊥AB于點F．建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A、B兩點坐標分別為A（2，0）、B（0，2

3

）． 
（1）求C、D兩點的坐標；
（2）求證：EF為⊙O′的切線；
（3）將梯形ABCD繞點A旋轉180°到A′B′C′D′，直線CD上是否存在點P，使以點P為圓心，PD為半徑的⊙P與直線C′D′相切？如果存在，請求出P點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接CE，根據圓周角定理的推論得到CE⊥x軸，再根據等腰梯形的性質得到EO=BC=2，CE=BO=2

3

，DE=AO=2，即可得到C點和D點坐標；
（2）連接O′E，由半徑相等得到∠O′DE=∠1，再根據等腰梯形的性質得到∠CDA=∠BAD，則∠1=∠BAD，得到O′E∥BA，于是有O′E⊥EF，根據切線的判定定理即可得到結論；
（3）過A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N，根據中心對稱的性質得到C′D′∥CD，AN⊥C′D′且AM=AN，在Rt△CDE中，CE=2

3

，DE=2，得到∠D=60°，在Rt△ADM中，
根據含30度的直角三角形三邊的關系得到AM=3

3

，MN=6

3

．根據切線的性質得到PD=MN=6

3

，作PQ⊥x軸于點Q，再根據含30度的直角三角形三邊的關系可計算出PQ=9，DQ=3

3

，然后分類推論：①若點P在DC的延長線上，②若點P在CD的延長線上，分別求出OQ，即可得到P點坐標．

解答：（1）解：連接CE，如圖，
∵CD是⊙O′的直徑，
∴CE⊥x軸，
∵四邊形ABCD為等腰梯形ABCD，
∵EO=BC=2，
CE=BO=2

3

，
DE=AO=2
∴DO=4，
∴C（-2，2

3

）D（-4，0）；

（2）證明：連接O′E，如圖，在⊙O′中，
∵O′D=O′E，
∴∠O′DE=∠1，
在等腰梯形ABCD中，∠CDA=∠BAD
∴∠1=∠BAD
∴O′E∥BA
又∵EF⊥BA
∴O′E⊥EF
∴EF為⊙O′的切線．

（3）存在．理由如下：
過A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N
∵梯形A′B′C′D′與梯形ABCD關于點A成中心對稱
∴C′D′∥CD，
∴AN⊥C′D′且AM=AN，
在Rt△CDE中，CE=2

3

，DE=2，
∴∠D=60°
在Rt△ADM中，
AM=AD•sinD=[2-（-4）]•sin60°=3

3

，
∴MN=6

3

．
設點P存在，則PD=MN=6

3

，
作PQ⊥x軸于點Q，
∴PQ=PD•sinD=6

3

•

3

2

=9，
DQ=PD•cosD=6

3

•

1

2

=3

3

，
①若點P在DC的延長線上，
∴OQ=DQ-DO=3

3

-4，
∴P（3

3

-4，9）．
②若點P在CD的延長線上，
∴OQ=3

3

+4，
∴P（-3

3

-4，-9）．
∴在直線CD上存在點P（3

3

-4，9）和P（-3

3

-4，-9），使以點P為圓心，PD為半徑的⊙P與直線C′D′相切．

點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系和圓周角定理的推論以及中心對稱的性質．