Question

如圖，在△ABC中，AB=3，BC=，∠B=45°，在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)M，過M作MN∥AC，交AB于點(diǎn)N，連接AM，設(shè)CM=x（0＜x＜ ），△AMN的面積為S．
（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在點(diǎn)M，使△AMN的面積等于4？若存在，求出CM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）連接CN．
∵M(jìn)N∥AC，
∴S_△CMN=S_△AMN，
∵CM=x，則BM=2-x，
∴△BMN∽BCA，
∴，
∴，
∴BN=，
作NH垂直BM于H，
∵∠B=45度，
∴NH=BN=，
∴S=CM•NH；

（2）令S_△AMN=4，即4=，
判別式b²-4ac＜0，方程無解．
故不存在點(diǎn)M，使△AMN的面積等于4．
分析：（1）連接CN．MN平行AC，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得到S_△CMN=S_△AMN，利用相似三角形的性質(zhì)可得到BN的長(zhǎng)，作NH垂直BM于H，解直角三角形BNH可求出NH的長(zhǎng)，繼而求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）不存在點(diǎn)M，使△AMN的面積等于4，設(shè)三角形AMN的面積為4，由（1）的函數(shù)關(guān)系可得一元二次方程無解，所以假設(shè)不成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定、解直角三角形的有關(guān)知識(shí)、三角形的面積公式運(yùn)用以及一元二次方程解的存在性問題，題目的綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大．