Question

  如圖：在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與軸相交于B、C兩點(diǎn)，與軸相交于D、E兩點(diǎn).

1.若拋物線經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)B是否在這條拋物線上？（5分）

2.過點(diǎn)E的直線交軸于F（，0），求此直線的解析式，這條直線是⊙A的切線嗎？請(qǐng)說明理由；（5分）

3.探索：是否能在（1）中的拋物線上找到一點(diǎn)Q，使直線BQ與軸正方向所夾銳角的正切值等于？，若能，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由. (4分)

 

Answer 1

 

1.連接AE（1分）

依題意：OD=OE=4 ∴C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)為：C（8，0），D（0，－4）（2分）

把C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入中，

得：   解得：

∴所求二次函數(shù)為： （4分）

∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0）

∴當(dāng)時(shí)， ∴點(diǎn)B在這條拋物線上（5分）

2.依題意：m =4 ∴ 

把點(diǎn)F（，0）代入上式得：

∴所求一次函數(shù)為：（7分）

在Rt△OEF中，（8分）

在△AEF中，AF=3+   ∴ 

∴ （9分）

∴∠AEF=90º  ∴EF是⊙O的切線（10分）

3.能找到這樣的點(diǎn)Q，

其坐標(biāo)分別為：）（12分） 和 （）（14分）

解析:（1）據(jù)圓的圓心坐標(biāo)A（3，0），以及圓的半徑，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)C（8，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)B（-2，0），然后由勾股定理，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)（0，-4），將C，D坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得拋物線的解析式．將B點(diǎn)代入，即可判斷是否在拋物線上；

（2）利用兩點(diǎn)式求出直線的解析式，然后再利用勾股定理證出∠AEF=90º，從而得出結(jié)論；

（3）利用直線BQ與軸正方向所夾銳角的正切值等于，得出BQ直線的k值為±，根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線的解析式，再求它與圓的交點(diǎn)。