Question

在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=

4

9

x2+

2

9

mx+

5

9

m+

4

3

與x軸交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且BO=2AO，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式和經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的直線的解析式；
（2）點(diǎn)P在此拋物線的對(duì)稱軸上，且⊙P與x軸、直線BC都相切．求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=

4

9

x2+

2

9

mx+

5

9

m+

4

3

與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且BO=2AO．故設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，0），則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，0），其中a＞0．令y=0，那么拋物線的解析式就變成關(guān)于x的一元二次方程的解，兩個(gè)解分別是-a、2a．利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出

-a+2a= - 2 9 m - 4 9 -a•2a= 5 9 m+ 4 3 - 4 9

，解得a、m的值．拋物線解析式確定，并寫出頂點(diǎn)式，C點(diǎn)的坐標(biāo)值即可確定．根據(jù)兩點(diǎn)B、C的坐標(biāo)值，求出直線BC的解析式．
（2）首先根據(jù)點(diǎn)P在此拋物線的對(duì)稱軸上，故設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，k）．利用三角形的面積公式與觀察圖形，求得PM的值，根據(jù)NP=PM求得P點(diǎn)的坐標(biāo)值．

解答：解：（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，0），則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，0），其中a＞0．
由題意得一元二次方程0=

4

9

x2+

2

9

mx+

5

9

m+

4

3

，
那么

-a+2a= - 2 9 m - 4 9 -a•2a= 5 9 m+ 4 3 - 4 9

?2m²-5m-12=0，
解得m=-

3

2

（不合題意舍去），
m=4，則a=2，
∴此拋物線的解析式為y=

4

9

(x-1)2-4，
B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）、C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-4），
∴經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的直線的解析式為y-0=

-4-0

1-4

(x-4)，
即y=

4

3

x-

16

3

；

（2）∵點(diǎn)P在此拋物線的對(duì)稱軸上，故設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，k），
設(shè)⊙P與x軸、直線BC分別相切于點(diǎn)N、M，連接PB、PM，
在△PBC中，BC=

NB2+NC2

=

32+42

=5，
S△PBC=

1

2

PC•NB=

1

2

BC•PM，
即PM=

[k-(-4)]•3

5

，
∵PM、NP均為圓P的半徑，
∴|k|=

(k+4)•3

5

，
解得k=6（不合題意舍去），k=-

3

2

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，-

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．