Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+x+c過A（﹣1，0），B（0，2）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式．

（2）M為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，N為x軸上對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，若tan∠ANM=，求M到AN的距離．

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）M到AN的距離；（3）滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1，1）或P（1，﹣1）或P（1，0）或P（1，）．

【解析】

（1）直接用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）先確定出拋物線對(duì)稱軸，由tan∠ANM==求得MN的長(zhǎng)，再求得AN的長(zhǎng)，在Rt△AMN中，用面積公式求得M到AN的距離即可；（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出AB，AP，BP，分AB=AP、AB=BP、AP=BP三種情況求解即可．

（1）∵拋物線y=ax2+x+c過A（﹣1，0），B（0，2）兩點(diǎn)，

∴

∴，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

（2）由（1）有，拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

∴拋物線對(duì)稱軸為x=1，

∴M（1，0），

∴AM=2，

∵tan∠ANM=，

∴，

∴MN=4，

∵N為x軸上對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，

∴N（1，4），

∴AN==2，

設(shè)M到AN的距離為h，

在Rt△AMN中， AM×MN=AN×h，

∴h===，

∴M到AN的距離；

（3）存在，

理由：設(shè)點(diǎn)P（1，m），

∵A（﹣1，0），B（0，2），

∴AB=，AP=，BP=，

∵△PAB為等腰三角形，

∴①當(dāng)AB=AP時(shí)，

∴=，

∴m=±1，

∴P（1，1）或P（1，﹣1），

②當(dāng)AB=BP時(shí)，

∴=，

∴m=4或m=0，

∴P（1，4）（此時(shí)點(diǎn)A，B，P三點(diǎn)共線，故舍去）或P（1，0）；

③當(dāng)AP=BP時(shí)，

∴=，

∴m=，

∴P（1，）；

即：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1，1）或P（1，﹣1）或P（1，0）或P（1，）.