Question

如圖，對稱軸為直線x=-2的拋物線經(jīng)過A（-3，0）和B（0，-3）．
（1）求拋物線解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D（m，n）是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第二象限，四邊形ODAE是以O(shè)A為對角線的平行四邊形．
①當(dāng)四邊形ODAE的面積為時，請判斷四邊形ODAE是否為菱形？并說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)E也剛好落在拋物線上時．求m的值；
（3）設(shè)拋物線與x軸另一交點(diǎn)為C，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）²+k，由題意，得
，解得
∴拋物線的解析式為：y=-（x+2）²+1

（2）①∵A（-3，0），
∴OA=3，設(shè)四邊形ODAE的面積為時，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-（m+2）²+1）
∴
解得：m₁=，m₂=
當(dāng)m₁=時，則
|m₁|=||=
∴四邊形ODAE是菱形．
當(dāng)m₂=時，則
|m₂|=||≠
∴四邊形ODAE不是菱形．
②作DG⊥OA、EH⊥OA垂足分別為G、H，
∵D（m，n）
∴OG=-m
設(shè)E（a，b），則OH=-a，E（a，-（a+2）²+1）
∴OG=AO-AG=AO-OH=3-（-a）=3+a
m=-3-a
∴D（-3-a，n）
∴n=-（-3-a+2）²+1
∴-（-3-a+2）²+1+[-（a+2）²+1]=0
解得a₁=，a₂=
∴m₁=，m₂=
∵D（m，n）位于第二象限，
∴-3≤m≤-1
∴m=

（3）∵拋物線的解析式為：y=-（x+2）²+1，
∴當(dāng)y=0時，
-（x+2）²+1=0
∴x₁=-1，x₂=-3
∴C（-1，0）
當(dāng)∠PCB=90°時，作PG⊥OA于G，
∴∠PGC=90
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∴△CGP∽△BOC，
∴
∴CG=3PG，設(shè)這時P（e，f）
∴f=-（e+2）²+1，
∴=3，解得
e1=-1（不符合題意），e2=-
∴f=-
∴P（，）
當(dāng)∠PBC=90°時，作PH⊥BC于H，
∴△PBH∽△BCO
∴
∴PH=3BH，
設(shè)BH=-t，則PH=-3t，
∴P（3t，-（3t+2）²+1）
∴-[-（3t+2）²+1）]=3-t，
解得：t1=0（不符合題意），t2=-
∴P（-，-）．
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（-，-）．
分析：（1）用待定系數(shù)法設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）²+k，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出其解析式．
（2）①根據(jù)四邊形的面積等于2倍的△ADO的面積等于，求出△ADO，AO邊上的高，就可以求出其橫坐標(biāo)m．根據(jù)m的值就可以判斷是否為菱形．
②當(dāng)點(diǎn)剛好落在拋物線上時，作DG⊥OA、EH⊥OA垂足分別為G、H，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，就可以把點(diǎn)D的坐標(biāo)用含E點(diǎn)坐標(biāo)的字母表示出來利用DG=EH建立等量關(guān)系就可以求出m的值．
（3）分兩種情況，當(dāng)∠PCB=90°或當(dāng)∠PBC=90°時利用三角形相似線段成比例表示出限度的關(guān)系，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)及判定的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)．