Question

如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點B的坐標為（0，），∠CAB=90°，AC=AB，頂點A在⊙O上運動．
（1）當(dāng)點A在y軸上時，求點C的坐標；
（2）當(dāng)點A運動到y(tǒng)軸的負半軸上時，試判斷直線BC與⊙O位置關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)點A在y軸右側(cè)運動時，設(shè)點A的縱坐標為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出S的取值范圍；
（4）當(dāng)直線AB與⊙O在第一象限內(nèi)相切時，在坐標軸上是否存在一點P，使得以P、A、B、C為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分點A在y軸正半軸和負半軸兩種情況先求出AB的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=AB，然后寫出點C的坐標即可；
（2）根據(jù)切線的定義判斷即可；
（3）過點A作AD⊥y軸于D，連接OA，利用勾股定理列式表示出AD²，再求出BD，利用勾股定理列式表示出AB²，然后根據(jù)等腰直角三角形的面積等于直角邊平方的一半列式整理即可得解，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性求出S的取值范圍；
（4）連接OA，利用勾股定理列式求出AB，從而得到△ABO是等腰直角三角形，再求出點A、C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB、AC的解析式，再分①PC∥AB，②PA∥BC，③PB∥AC三種情況分別求出直線PC的解析式，求出與坐標軸的交點，即為點P的坐標．
解答：解：（1）當(dāng)點A在y軸正半軸時，坐標為（0，1）時，
AB=AC=-1，
點C的坐標為（-1，1）；
當(dāng)點A在y軸負半軸時，坐標為（0，-1）時，
AB=AC=+1，
點C的坐標為（+1，-1）；

（2）∵∠CAB=90°，
∴AB⊥AC，
又∵點A在y軸負半軸，且點A在⊙O上，
∴直線BC與⊙O相切；

（3）如圖，過點A作AD⊥y軸于D，連接OA，
根據(jù)勾股定理，AD²=OA²-OD²=1²-x²=1-x²，
∵BD=-x，
∴在Rt△ABD中，AB²=BD²+AD²，
=（-x）²+（1-x²），
=2-2x+x²+1-x²，
=-2x+3，
∴等腰直角△ABC的面積為S=AB²=（-2x+3）=-x+，
即S=-x+，
∵-＜0，
∴S隨x的增大而減小，
又∵⊙O上的點A在y軸右側(cè)運動，點A的縱坐標為x，
∴-1＜x＜1，
∴-+＜S＜+；

（4）存在．
如圖，連接OA，∵直線AB與⊙O在第一象限內(nèi)相切，
∴OA⊥AB，
∴AB===1，
∴OA=AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴點A（，），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴點C的坐標為（，），
易求直線AB的解析式為y=-x+，
直線AC的解析式為y=x，
①PC∥AB時，設(shè)直線PC的解析式為y=-x+b₁，
把C（，）代入得，-+b₁=，
解得b₁=2，
所以，直線PC的解析式為y=-x+2，
令y=0，則-x+2=0，
解得x=2，
此時，點P的坐標為P₁（2，0），
令x=0，則y=2，
此時，點P的坐標為P₂（0，2），
②PA∥BC時，點P的坐標為P₃（0，）；
③PB∥AC時，設(shè)直線PC的解析式為y=x+b₂，
把點B（0，）代入求得b₂=，
所以，直線PB的解析式為y=x+，
令y=0，則x+=0，
解得x=-，
此時，點P的坐標為P₄（-，0），
綜上所述，存在點P₁（2，0），P₂（0，2），P₃（0，），P₄（-，0）使得以P、A、B、C為頂點的四邊形是梯形．
點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的切線的判定，勾股定理，三角形的面積，一次函數(shù)的增減性，梯形的判定，綜合性較強，難度較大，特別是（4）要分情況討論．