Question

【題目】如圖1，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD．

（1）請直接寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系　 　；

（2）現(xiàn)將圖1中的△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖2，AE與MP、BD分別交于點G、H．請直接寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系　 　；

（3）若圖2中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如圖3，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN，理由見解析；（2）PM＝PN，PM⊥PN，理由見解析；（3）PM＝kPN，證明見解析.

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論判斷出△ACE≌△BCD，得出AE=BD，再用三角形的中位線即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法即可得出結(jié)論；

（3）利用兩邊對應成比例夾角相等，判斷出△BCD∽△ACE，得出BD=kAE，最后用三角形的中位線即可得出結(jié)論．

解：（1）PM＝PN，PM⊥PN，

理由如下：

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．

在△ACE和△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，

∵∠BCD＝90°，

∴∠CBD+∠BDC＝90°，

∴∠EAC+∠BDC＝90°

∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，

∴PM＝BD，PN＝AE，

∴PM＝PN，

∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，

∴PM∥BC，PN∥AE，

∴∠NPD＝∠EAC，∠MPN＝∠BDC，

∵∠EAC+∠BDC＝90°，

∴∠MPA+∠NPC＝90°，

∴∠MPN＝90°，

即PM⊥PN，

故答案為：PM⊥PN，PM＝PN；

（2）PM＝PN，PM⊥PN，

理由：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．

∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE．

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD．

又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，

∴∠BHO＝∠ACO＝90°．

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，

∴PM＝BD，PM∥BD；

PN＝AE，PN∥AE．

∴PM＝PN．

∴∠MGE+∠BHA＝180°．

∴∠MGE＝90°．

∴∠MPN＝90°．

∴PM⊥PN．

故答案為：PM⊥PN，PM＝PN；

（3）PM＝kPN，

∵△ACB和△ECD是直角三角形，

∴∠ACB＝∠ECD＝90°．

∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE．

∴∠ACE＝∠BCD．

∵BC＝kAC，CD＝kCE，

∴＝k．

∴△BCD∽△ACE．

∴BD＝kAE，

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，

∴PM＝BD，PN＝AE．

∴PM＝kPN．