Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（12，-8），點B、C在x軸上，tan∠ABC=

4

3

，AB=AC，AH⊥BC于H，D為AC邊上一點，BD交AH于點M，且△ADM與△BHM的面積相等．
（1）求點D坐標(biāo)；
（2）求過B、C、D三點的拋物線的解析式，并求出拋物線頂點E的坐標(biāo)；
（3）過點E且平行于AB的直線l交y軸于點G，若將（2）中的拋物線沿直線l平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為E′（點E′在y軸右側(cè)）．是否存在這樣的拋物線，使△E′FG為等腰三角形？若存在，請求出此時頂點E′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求點D的坐標(biāo)，可以先確定點D的位置，由△ADM、△BHM的面積相等，它們加上一個公共三角形△AMB后，可得出△ADB、△AHB的面積相等，顯然D、H兩點到直線AB的距離相等，即DH∥AB，而H是BC的中點，那么點D應(yīng)該是AC的中點，所以只要求出點C的坐標(biāo)即可確定點D的坐標(biāo)．首先由點A坐標(biāo)能得到AH的長，在Rt△AHB中，已知AH的長以及∠ABH的正切值，通過解直角三角形即可求出BH的長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易知BH=HC，在得出OH（點A橫坐標(biāo)的絕對值）、CH的長后，即可確定點C的坐標(biāo)，由此得解．
（2）利用待定系數(shù)法能求出拋物線的解析式，由配方法或公式法能求出頂點E的坐標(biāo)．
（3）首先表達出平移后的函數(shù)解析式，能得到點E′、G的坐標(biāo)；再由直線l與AB平行，求出直線l的解析式（兩條直線平行，則它們的斜率相同），能得到點F的坐標(biāo)；若△E′FG為等腰三角形，需要考慮到三種情況：
①E′F=E′G；此時E′在線段FG的中垂線上，那么點E′縱坐標(biāo)應(yīng)該是點F、G兩點縱坐標(biāo)和的一半，據(jù)此求解；
②E′G=FG；FG可由兩點縱坐標(biāo)差的絕對值求得，而E′G可由點E橫坐標(biāo)以及∠OGB的正弦值求得，列出等式后即可確定點E′的坐標(biāo)；
③E′F=FG；這種情況下，點F必在E′下方，顯然這種情況不符合拋物線圖象的特點，因此這種情況不予考慮．

解答：解：（1）∵S_△ADM=S_△BHM，∴S_△ACH=S_△BCD，
∵AB=AC，AH⊥BC，∴H是BC中點，∴D是AC中點．
∵AH=8，tan∠ABC=

4

3

，∴BH=CH=6，
∵A的坐標(biāo)為（12，-8），∴B、C坐標(biāo)分別為（18，0）、（6，0）．
∴D的坐標(biāo)為（9，-4）．

（2）設(shè)經(jīng)過B、C、D三點的拋物線的解析式為y=a（x-6）（x-18），
∵拋物線過D點，∴-4=a（9-6）（9-18），∴a=

4

27

．
∴拋物線的解析式為y=

4

27

（x-6）（x-18），頂點E的坐標(biāo)為（12，-

16

3

）．

（3）設(shè)直線l的解析式為y=

4

3

x+b，∵直線過點E，∴b=-

64

3

，
∴G的坐標(biāo)為（0，-

64

3

）．
∴設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=

4

27

（x-m）²+

4

3

m-

64

3

∴F的坐標(biāo)為（0，

4

27

m²+

4

3

m-

64

3

），E′的坐標(biāo)為（m，

4

3

m-

64

3

），
若E′G=E′F，則

4

27

m²+

4

3

m-

64

3

+

64

3

=2×

4

3

m，
∴m=0（舍去），m=9，此時E′的坐標(biāo)為（9，-

28

3

）．
若E′G=GF，則

5

3

m=

4

27

m²+

4

3

m-

64

3

+

64

3

∴m=0（舍去），m=

9

4

，此時E′的坐標(biāo)為（

9

4

，-

55

3

）．
若E′F=GF，不存在．
綜上所述E′點的坐標(biāo)為（9，-

28

3

）或（

9

4

，-

55

3

）．

點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、圖形面積的解法、函數(shù)解析式的確定以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等重要知識；最后一題中，在等腰三角形的腰和底不確定的情況下，要分類討論．