Question

如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一點(diǎn)N、M，使得BM+MN的值最小，這個(gè)最小值為

1. A.
   12
2. B.
   10
3. C.
   16
4. D.
   20

Answer 1

C
分析：作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，連AB′，則N點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N′在AB′上，這時(shí)，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距離BH′，連B與AB′和DC的交點(diǎn)P，再由三角形的面積公式可求出S_△ABP的值，根據(jù)對稱的性質(zhì)可知∠PAC=∠BAC=∠PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由S_△ABP=PA•BH′即可求解．
解答：解：如圖，作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，
連AB′，則N點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N′在AB′上，
這時(shí)，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，
等于B到AB′的距離BH′，
連B與AB′和DC的交點(diǎn)P，
則S_△ABP=×20×10=100，
由對稱知識，∠PAC=∠BAC=∠PCA，
所以PA=PC，令PA=x，則PC=x，PD=20-x，
在Rt△ADP中，PA²=PD²+AD²，
所以x²=（20-x）²+10²，
所以x=12.5，
因?yàn)镾_△ABP=PA•BH′，
所以BH′=．
點(diǎn)評：本題考查的是最短路線問題及軸對稱的性質(zhì)，作出B點(diǎn)關(guān)于直線AC對稱的點(diǎn)B′是解答此題的關(guān)鍵．