Question

【題目】已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB=OC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的角平分線(xiàn)上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，

∴∠BEC=∠CDB=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，

∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE=180°﹣∠CDB﹣∠CBD，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形

（2）解：點(diǎn)O在∠BAC的角平分線(xiàn)上．

理由：連接AO并延長(zhǎng)交BC于F，

在△AOB和△AOC中，

∴△AOB≌△AOC（SSS）．

∴∠BAF=∠CAF，

∴點(diǎn)O在∠BAC的角平分線(xiàn)上．

【解析】（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可證得△ABC是等腰三角形；（2）首先連接AO并延長(zhǎng)交BC于F，通過(guò)證△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即點(diǎn)O在∠BAC的角平分線(xiàn)上．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和等腰三角形的判定，需要了解定理1：在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等才能得出正確答案．