【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2﹣
x﹣2
與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),交y軸于點C.
(1)求直線AC的解析式;
(2)點P是直線AC上方拋物線上的一動點,過點P作PD⊥AC,垂足為D,當線段PD的長度最大時,點Q從點P出發(fā),先以每秒1個單位的速度沿適當?shù)穆窂竭\動到y(tǒng)軸上的點M處,再沿MC以每秒3個單位的速度運動到點C停止,當點Q在整個運動中所用時間t最少時,求點M的坐標;
(3)如圖2,將△BOC沿直線BC平移,平移后B,O,C三點的對應點分別是B′,O′,C′,點S是坐標平面內(nèi)一點,若以A,C,O′,S為頂點的四邊形是菱形,請直接寫出所有符合條件的點S的坐標.
【答案】(1)y=﹣x﹣2
;(2)M(0,
),(3)(
,
)或(
,
)或(
,
)或(
,
)或(
,
)
【解析】分析:(1)、根據(jù)題意分別求出點A和點C的坐標,然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;(2)、過點P作PE∥y軸交直線AC于點E,設(shè)出點P的坐標,從而得出PE的長度,根據(jù)△PDE和△AOC相似得出PD的長度,然后證明出△CHM和△COF相似,△PKM和△COF相似,從而求出點M的坐標;(3)、根據(jù)菱形的性質(zhì)分別分五種情況進行討論,得出點P的坐標.
詳解:(1)當y=0時,﹣x2﹣
x﹣2
=0,解這個方程,得:x1=﹣6,x2=﹣1,
∴點A(﹣6,0),B(﹣1,0), 當x=0時,y=﹣2, ∴C(0,﹣2
),
設(shè)直線AC的解析式為:y=ax+b(a≠0),
將點A(﹣6,0),C(0,﹣2)代入得:
, ∴
,
∴直線AC的解析式為:y=﹣x﹣2
;
(2)如圖1,過點P作PE∥y軸交直線AC于點E,
設(shè)P(a,﹣﹣2
),
∴PE=(﹣)﹣(﹣
﹣2
)=﹣
﹣2
a,
∵AO=6,OC=2, ∴AC=
=
=2
,
∵∠PDE=∠AOC=90°,∠PED=∠ACO, ∴△PDE∽△AOC, ∴=
,
∴PD=PE=
=﹣
﹣
, 對稱軸是:a=﹣3,
∵﹣,
∴當a=﹣3時,PD的長度最大,此時點P的坐標為(﹣3,2),
如圖1所示,在x軸上取點F(1,0),連接CF并延長,
∴CF==
=3, ∴sin∠OCF=
=
,
點M是y軸上一點,過點M作MH⊥CF于點H,
由△CHM∽△COF,可知: =
, ∵t=
=PM+MH,
如圖2,當P、M、H在同一直線上時,t的值最小,此時,過P作PK⊥y軸于K,
由△PKM∽△COF,可知: =2
, ∴KM=
, ∴M(0,
),
(3)如圖3,當四邊形ACSO'是菱形時,過S作SG⊥y軸于G,延長O'C'交x軸于H,
∵四邊形ACSO'是菱形, ∴AO'=AC=SC,AO'∥SC, ∴∠AMC=∠BCS,
∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS, ∵∠MC'O'=∠BCO, ∴∠AO'H=∠OCS,
∵∠AHO'=∠CGS, ∴△O'AH≌△CSG, ∴AH=SG,O'H=CG,
Rt△OCB中,sin∠OCB==
, ∴sin∠BC'H=
=
,
設(shè)BH=x,則BC'=3x, ∴C'H=2x, ∴AH=SG=5﹣x, ∵O'C'=OC=2
,
∴C'H=OG=2x, 由勾股定理得:AC2=O'A2, ∴AO2+OC2=O'H2+AH2,
∴=(5﹣x)2+(2
+2
x)2, 解得:x=
,
當x=時,SG=5﹣x=
,OG=2
x=
,
當x=<0時,不符合題意,舍去,SG=5﹣x=
,OG=2
x=
,
此時S的坐標為:或
;
②如圖4,過S作SH⊥AO于H,延長O'B'到y(tǒng)軸交于G, ∵SE∥CF,EC∥SF,
∴四邊形SECF是平行四邊形, ∴∠ESF=∠ECF, ∵四邊形ASO'C是菱形,
∴∠ASO'=∠ACO', ∴∠ASH=∠O'CG, 同理得:△ASH≌△O'CG, ∴AH=O'G,SH=CG,
sin∠GCB'==
, 設(shè)GB'=x,則CB'=3x,CG=2
x, ∴O'G=1+x,
由勾股定理得:AC2=O'C2, ∴62+(2)2=(2
x)2+(x+1)2,解得:x=
,
當x=時,SH=CG=2
x=
,OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=
,
當x=<0時,不符合題意,舍去,
此時,點S的坐標為:(,
);
③如圖5,AC為對角線時,同理可得S(,
)
④如圖6,過S作SE⊥x軸于E,延長B'O'交y軸于H,延長O'C'交x軸于G,
設(shè)GB'=x,則CB'=3x,CG=2x, ∴O'G=O'H=1+x, ∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS,
易得△SEA≌△CHO', 同理可得S(,
);
⑤如圖7,過S作SH⊥x軸于H,過O'作O'E⊥SH于E,延長C'O'交x軸于G,
設(shè)OG=x,則BG=1+x, ∵O'B'∥BG, ∴, ∴
,
∴C'G=2(1+x), ∴O'G=C'G﹣C'O'=2
x, ∴AG=1+x,
同理得:62+(2)2=(1+x)2+(2
x)2,
解得:x1=,x2=
(舍), 可得S
;
綜上所述,S的坐標為:或
或(
,
)或(
,
)或(
,
).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校開展了“學生使用手機調(diào)研”活動,隨機抽取部分學生進行“使用手機的目的”和“每周使用手機的時間”的問卷調(diào)查,并繪制成如圖①,圖②的統(tǒng)計圖.已知“查資料”的人數(shù)是40人.
(1)在這次調(diào)查中,一共抽取了 名學生;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,“玩游戲”對應的圓心角的度數(shù)是 度;
(3)補全條形統(tǒng)計圖;(注:0-1小時有16人)
(4)該校共有學生2660人,請估計每周使用手機時間在2小時以上(不含2小時)的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6,B是數(shù)軸上在左側(cè)的一點,且A,B兩點間的距離為10。動點P從點A出發(fā),以每秒6個單位長度的度沿數(shù)軸向左勻速運動,設(shè)運動時間為t秒。
(1)數(shù)軸上點B表示的數(shù)是______;當點P運動到AB的中點時,它所表示的數(shù)是_____。
(2)動點Q從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動,若點P、Q同時出發(fā),求:
①當點P運動多少秒時,點P追上點Q?
②當點P運動多少秒時,點P與點Q間的距離為8個單位長度?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“萬州古紅桔”原名“萬縣紅桔”,古稱丹桔(以下簡稱為紅桔),種植距今至少已有一千多年的歷史,“玫瑰香橙”(源自意大利西西里島塔羅科血橙,以下簡稱香橙)現(xiàn)已是萬州柑橘發(fā)展的主推品種之一.某水果店老板在2017年11月份用15200元購進了400千克紅桔和600千克香橙,已知香橙的每千克進價比紅桔的每千克進價2倍還多4元.
(1)求11月份這兩種水果的進價分別為每千克多少元?
(2)時下正值柑橘銷售旺季,水果店老板決定在12月份繼續(xù)購進這兩種水果,但進入12月份,由于柑橘的大量上市,紅桔和香橙的進價都有大幅下滑,紅桔每千克的進價在11月份的基礎(chǔ)上下降了m%,香橙每千克的進價在11月份的基礎(chǔ)上下降了m%,由于紅桔和“玫瑰香橙”都深受庫區(qū)人民歡迎,實際水果店老板在12月份購進的紅桔數(shù)量比11月份增加了
m%,香橙購進的數(shù)量比11月份增加了2m%,結(jié)果12月份所購進的這兩種柑橘的總價與11月份所購進的這兩種柑橘的總價相同,求m的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】近年來,德強學校初中部中考屢創(chuàng)佳績,捷報頻傳.為了吸納更多的優(yōu)質(zhì)生源,學校決定要新建一棟層的教學大樓,每層樓有
間教室,進出這棟大樓共有
道門,其中兩道正門大小相同,兩道側(cè)門大小相同,進樓前為了保證學生安全,對
道門進行了測試:正常情況下,當同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時,
分鐘可以通過
名學生;當同時開啟一道正門和一道側(cè)門時
分鐘可以通過
名學生.
(1)正常情況下,平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學生?
(2)檢查中發(fā)現(xiàn),緊急情況時因?qū)W生擁擠,出門的效率將降低,安全檢查規(guī)定,在緊急情況下全大樓的學生應在
分鐘內(nèi)通過這
道門安全撤離.如果這棟教學樓每班預計招收45名學生,那么建造的這
道門是否符合安全規(guī)定?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在□ABCD中,點E,F(xiàn)分別在邊AD、BC上,EF=2,∠DEF=60°將四邊形EFCD沿EF翻折,得到四邊形EFC’D’,ED’交BC于點G,則△GEF的周長為________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應市收府關(guān)于”垃圾不落地·市區(qū)更美麗”的主題宣傳活動,某校隨機調(diào)查了部分學生對垃圾分類知識的掌握情況.調(diào)查選項分為“A:非常了解,B:比較了解C:了解較少,D:不了解”四種,并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)把兩幅統(tǒng)計圖補充完整;
(2)若該校學生數(shù)1000名,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計該校“非常了解”與“比較了解”的學生共有________名;
(3)已知“非常了解”的4名男生和1名女生,從中隨機抽取2名向全校做垃圾分類的知識交流,請用畫樹狀圖或列表的方法,求恰好抽到1男1女的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:有理數(shù)m所表示的點到表示3的點距離4個單位,a、b互為相反數(shù),且都不為零,c、d互為倒數(shù).
(1)求m的值,
(2)求:的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】直線y=﹣x+
分別與x軸、y軸交于A、B兩點,⊙E經(jīng)過原點O及A、B兩點,C是⊙E上一點,連接BC交OA于點D,∠COD=∠CBO.
(1)求A、B、C三點坐標;
(2)求經(jīng)過O、C、A三點的拋物線解析式;
(3)直線AB上是否存在點P,使得△COP的周長最。咳舸嬖,請求出P點坐標;若不存在,請說明理由.
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