Question

已知點E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）為拋物線y=ax²+bx+c上的兩點，過點E、F分別作x軸的垂線，分別交x軸于點B、D，交直線y=2ax+b于點A、C，設S為直線AB、CD與x軸、直線y=2ax+b所圍成圖形的面積．
（1）當a=1，b=-2，c=3時，計算：①當x₁=3，x₂=5時，求y₁、y₂、S；②當x₁=-2，x₂=-1時，求y₁、y₂、S；通過以上的計算，猜想S與y₁-y₂的數量關系；
（2）當拋物線y=ax²+bx+c在x軸上方，且點E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）在拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸的同側（點E在點F的左側）時（如圖1），（1）中的結論是否仍然成立？請說明你的判斷．
（3）如果將（2）中的“同側”改為“異側”（如圖2），其他條件不變，并設M為直線y=2ax+b與x軸的交點，S₁=S_△AMB，S₂=S_△CMD，求S₁、S₂與y₁、y₂的數量關系（直接寫出答案）．

Answer 1

解：（1）當a=1，b=-2，c=3時，拋物線解析式為y=x²-2x+3，
對稱軸為直線x=-=-=1，
直線AC的解析式為y=2x-2，
①當x₁=3，x₂=5時，y₁=3²-2×3+3=9-6+3=6，
y₂=5²-2×5+3=25-10+3=18，
AB=2×3-2=6-2=4，
CD=2×5-2=10-2=8，
S=（4+8）×（5-3）=×12×2=12；
②當x₁=-2，x₂=-1時，y₁=（-2）²-2×（-2）+3=4+4+3=11，
y₂=（-1）²-2×（-1）+3=1+2+3=6，
AB=|2×（-2）-2|=|-4-2|=6，
CD=|2×（-1）-2|=|-2-2|=4，
S=（6+4）×[（-1）-（-2）]=×10×1=5；
∵18-6=12，11-6=5，
∴點E、F都在對稱軸左側，S=y₁-y₂；
點E、F都在對稱軸右側，S=y₂-y₁；

（2）成立．理由如下：
由題意得，y₁=ax₁²+bx₁+c，
y₂=ax₂²+bx₂+c，
所以，y₂-y₁=（ax₂²+bx₂+c）-（ax₁²+bx₁+c），
=a（x₁+x₂）（x₂-x₁）+b（x₂-x₁），
=（x₂-x₁）[a（x₁+x₂）+b]，
AB=2ax₁+b，CD=2ax₂+b，
所以，S=[（2ax₁+b）+（2ax₂+b）]×（x₂-x₁），
=[2a（x₁+x₂）+2b）]×（x₂-x₁），
=（x₂-x₁）[a（x₁+x₂）+b]，
所以，S=y₂-y₁；

（3）由（2）得，y₁-y₂=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]，
∵直線AC的解析式為y=2ax+b，
∴點M的坐標為（-，0），
∴S₁=S_△AMB=[-（2ax₁+b）]×（--x₁）=（2ax₁+b）²，
S₂=S_△CMD=（2ax₂+b）×[x₂-（-）]=（2ax₂+b）²，
S₁-S₂=（2ax₁+b）²-（2ax₂+b）²，
=（2ax₁+b+2ax₂+b）（2ax₁+b-2ax₂-b），
=[2a（x₁+x₂）+2b]•2a（x₁-x₂），
=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]，
∴S₁-S₂=y₁-y₂．
分析：（1）把a、b、c的值代入得到拋物線解析式，然后求出拋物線的對稱軸解析式，把a、b的值代入直線求出直線解析式，①把x₁、x₂的值代入進行計算即可求出y₁、y₂的值，再根據點E、F在對稱軸同側，四邊形ABCD是梯形，然后利用直線解析式求出AB、CD的長度，再根據梯形的面積公式列式進行計算即可求出S；②方法與①相同；然后根據所求數據即可得到數量關系；
（2）把點E、F坐標代入拋物線求出y₁、y₂，再根據直線解析式求出AB、CD的長度，然后根據點E、F在對稱軸同一側，四邊形ABCD是梯形，根據梯形的面積公式列式計算求出S，即可得解；
（3）同（2）求出y₁、y₂，然后根據點E、F在對稱軸異側，分別求出S₁，S₂，根據數據關系即可得解．
點評：本題綜合考查了二次函數，主要利用了拋物線上的點與直線上點的坐標特征，梯形的面積與三角形的面積，易錯點在于要注意分點E、F都在對稱軸的左側與右側，以及兩側時的線段AB、CD的長短不同，求面積時要進行相應的變化處理．