Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）點D是該拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點，求當(dāng)四邊形ABDC面積最大時點D的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，過點D的直線與過B、C兩點的直線平行，證明直線與過A、B、C三點的拋物線只有一個交點．

Answer 1

解：（1）設(shè)所求拋物線為y=a（x-x₁）（x-x₂）
∴該拋物線經(jīng)過點A（-1，0）、B（4，0）
∴y=a（x-+1）（x-4）
∵拋物線經(jīng)過點C（0，2）
∴2=-4a
∴a=
∴y=．

（2）∵點D在拋物線上
∴D（）
過點D作DE⊥X軸，交BC于點F
∵過BC的直線為y=
∴F
∴DF=
∴S_{四邊形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD=
∴當(dāng)a=2時，S最大值等于9
∴D（2，3）．

（3）∵過點D的直線l∥BC交y軸于點G
∵四邊形CFDG是平行四邊形
∴DF=CG=2
∴G（0，4）
∴直線：y=
∴=
∴x²-4x+4=0
∴△=16-16=0
∴直線與拋物線只有一個交點．
分析：（1）已知拋物線圖象上三個不同點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定該函數(shù)的解析式．
（2）由圖象不難看出，△ABC的面積是一定的，所以只需看△CBD的面積和點D的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系；過點D作x軸的垂線，交直線BC于點F，已知直線BC和拋物線的解析式，可由點D的橫坐標(biāo)求出點D、F的縱坐標(biāo)，它們的差就是線段DF的長，以DF為底、OB為高可求出△BCD的面積表達(dá)式，再根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可確定△BCD的面積最大時（即四邊形ABDC的面積最大時）點D的坐標(biāo)．
（3）設(shè)過點D的直線與y軸的交點為G，當(dāng)DG∥BC時，四邊形DFCG是個平行四邊形，此時DF=GC，由此確定點G的坐標(biāo)，進(jìn)而由待定系數(shù)法確定出直線DG的解析式，聯(lián)立直線DG和拋物線的解析式，消去y后，判斷所得一元二次方程的根的判別式是否為0即可．
點評：此題的難度不大，主要涉及了函數(shù)解析式的確定、圖形面積的解法以及函數(shù)圖象交點的解法等基礎(chǔ)知識；（3）題也可由兩直線平行，那么斜率相同（即k值相等）來確定直線的解析式．