Question

已知：矩形ABCD（字母順序如圖）的邊長(zhǎng)AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，使AB在x軸正半軸上，而矩形的其它兩個(gè)頂點(diǎn)在第一象限，且直線(xiàn)y=x-1經(jīng)過(guò)這兩個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)．
（1）求出矩形的頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）以AB為直徑作⊙M，經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)，y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)是P點(diǎn)．
①若點(diǎn)P位于⊙M外側(cè)且在矩形ABCD內(nèi)部，求a的取值范圍；
②過(guò)點(diǎn)C作⊙M的切線(xiàn)交AD于F點(diǎn)，當(dāng)PF∥AB時(shí)，試判斷拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)Q是位于直線(xiàn)y=x-1的上方？還是下方？還是正好落在此直線(xiàn)上？并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，
設(shè)A（m，0）（m＞0），則有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；
若C點(diǎn)過(guò)y=x-1；則2=（m+3）-1，
m=-1與m＞0不合；
∴C點(diǎn)不過(guò)y=x-1；
若點(diǎn)D過(guò)y=x-1，則2=m-1，m=2，
∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；

（2）①∵⊙M以AB為直徑，
∴M（，0），
由于y=ax²+bx+c過(guò)A（2，0）和B（5，0）兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴y=ax²-7ax+10a
（也可得：y=a（x-2）（x-5）=a（x²-7x+10）=ax²-7ax+10a）
∴y=a（x-）²-a；
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P（，-a）
∵頂點(diǎn)同時(shí)在⊙M內(nèi)和在矩形ABCD內(nèi)部，
∴＜-a＜2，
∴-＜a＜-．
②設(shè)切線(xiàn)CF與⊙M相切于Q，交AD于F，設(shè)AF=n，n＞0；
∵AD、BC、CF均為⊙M切線(xiàn)，
∴CF=n+2，DF=2-n；在Rt△DCF中，
∵DF²+DC²=CF²；
∴3²+（2-n）²=（n+2）²，
∴n=，
∴F（2，）
∴當(dāng)PF∥AB時(shí)，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為；
∴-a=，
∴a=-；
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x²+x-5，
拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為Q（0，-5），
又直線(xiàn)y=x-1與y軸交點(diǎn)（0，-1）；
∴Q在直線(xiàn)y=x-1下方．
分析：（1）首先建立平面直角坐標(biāo)系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，設(shè)A（m，0）（m＞0），則有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C點(diǎn)過(guò)y=x-1與C點(diǎn)不過(guò)y=x-1分析，即可求得矩形的頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）⊙M以AB為直徑，即可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，又由y=ax²+bx+c過(guò)A（2，0）和B（5，0）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的圖象，然后頂點(diǎn)同時(shí)在⊙M內(nèi)和在矩形ABCD內(nèi)部，即可求得a的取值范圍；
②首先設(shè)切線(xiàn)CF與⊙M相切于Q，交AD于F，設(shè)AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均為⊙M切線(xiàn)，求得CF與DF的長(zhǎng)；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐標(biāo)，然后由當(dāng)PF∥AB時(shí)，求得拋物線(xiàn)的解析式與拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，則可得Q在直線(xiàn)y=x-1下方．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．